Perché il CICLO HAMILTONIANO è così diverso dal PERMANENTE?

Un polinomio $f(x_1,\ldots,x_n)$ è una proiezione monotona di un polinomio $g(y_1,\ldots,y_m)$ se $m$ = poli $(n)$ , e c'è un incarico tale che f ( x 1 , … , x n ) $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ . Cioè, è possibile sostituire ogni variabile y j di g con una variabile x i o una costante 0 o 1 in modo che il polinomio risultante coincida con f . $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$$y_j$$g$$x_i$$0$$1$$f$

Sono interessato a (le ragioni di) la differenza tra il polinomio permanente PER e il polinomio del ciclo Hamiltoniano HAM: dove la prima somma è sopra tutte le permutazioni h :

$$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$$ , e il secondo è solo su tutte lepermutazionicicliche h : [ n ] → [ n ] . $h:[n]\to[n]$$h:[n]\to[n]$

Domanda: Perché HAM non è una proiezione monotona PER? O lo è ancora?

Non sto chiedendo prove , solo per ragioni intuitive.

Motivazione: il più grande circuito monotono conosciuto più basso per PER (dimostrato da Razborov) rimane "solo" . D'altra parte, i risultati di Valiant implicano che CLIQUE n  è una proiezione monotona di HAM m dove CLIQUE n ( x ) = ∑ S ∏ i < j ∈ S x i , j con la somma è su tutti i sottoinsiemi S ⊆ [ n ] di dimensioni | S $n^{\Omega(\log n)}$

$$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$$ $$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$$ $S\subseteq [n]$ . Io stesso non ho potuto ottenere una riduzione "semplice, diretta" da questi risultati generali, maAlon e Boppanasostengono (nella Sezione 5) che giàm=25n2è sufficiente per questa riduzione. $|S|=\sqrt{n}$$m=25n^2$

Ma aspetta: è noto che CLIQUE richiede circuiti monotoni di dimensione (dimostrato per la prima volta da Alon e Boppana usando il metodo di Razborov). $2^{n^{\Omega(1)}}$

Quindi, se HAM fosse una proiezione monotona di PER, avremmo un limite inferiore di anche per PER. $2^{n^{\Omega(1)}}$

In realtà, perché HAM non è nemmeno una proiezione non monotona di PER? Sul semianello booleano, il primo è NP Completa, mentre il secondo è in P . Ma perché? Dov'è un posto dove essere ciclico per una permutazione lo rende così speciale?

PS Un'ovvia differenza potrebbe essere: HAM copre [n] di un solo (lungo) ciclo, mentre PER può usare può disgiungere i cicli per questo. Pertanto, per proiettare PER in HAM la direzione difficile sembra essere: assicurarsi che l' assenza di un ciclo hamiltoniano implichi l'assenza di qualsiasi copertura con cicli disgiunti nel nuovo grafico. È questo il motivo per cui HAM non è una proiezione di PER?

PPS realtà, Valiant dimostrato un risultato più impressionante: ogni polinomio con c u ∈ { 0 , 1 } , i cui coefficienti c u sono computabile p-time , è una proiezione (non necessariamente monotona se l'algo non è monotona) di HAM m per m = poli ( n $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$$c_u\in\{0,1\}$$c_u$$_m$$m$$(n)$. Anche PER ha questa proprietà, ma solo su campi caratteristici . Quindi, in questo senso, HAM e PER sono davvero "simili", a meno che non siamo in GF (2) dove, come ricordava Bruno, PER si trasforma in DETERMINANT ed è facile.$\neq 2$

Quanto segue è una prova su ogni anello di zero caratteristico che il polinomio del ciclo hamiltoniano non è una proiezione monotona di dimensioni polinomiali del permanente. L'idea di base è che le proiezioni monotone di polinomi con coefficienti non negativi conducono al politipo di Newton di uno che è una formulazione estesa del politopo di Newton dell'altro, e quindi all'applicazione dei recenti limiti inferiori su formulazioni estese.

Sia e g ( y 1 , … , y m ) essere polinomi con coefficienti non negativi (come nel caso qui). Supponiamo che f sia una proiezione monotona di g sotto il compito π (seguendo la notazione della domanda). Sotto π , ogni monomio di g viene mappato su 0 (se una delle sue variabili viene mappato su 0) o su un monomio di $f(x_1,\dotsc,x_n)$$g(y_1,\dotsc,y_m)$$f$$g$$\pi$$\pi$$g$$f$ : non ci possono essere cancellazioni a causa della non negatività.

Sia denota il politopo di Newton di f , e allo stesso modo per N e w ( g ) .$New(f)$$f$$New(g)$

Reclamo : esiste una formulazione estesa per in R m , usando le variabili ≤ n + m , e un numero di vincoli che è al massimo n + m più il numero di vincoli che definiscono N e w ( g ) .$New(f)$$\mathbb{R}^m$$\leq n+m$$n+m$$New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$$\mathbb{R}^m$$New(g)$$\mathbb{R}^m$$(e_1,\dotsc,e_m)$$y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$$i$$\pi(y_i)=0$$New(g)$$\{e_i = 0\}$$y_i$$m$$P$$\pi$$L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$$L_{\pi}(P) = New(f)$. This last part follows from the lack of cancellations. Thus we get an extended formulation for $New(f)$ by taking $n+m$ variables, the constraints for $P$ on the $m$ variables, and the constraints defining $L_{\pi}$ (of which there are at most $n$, one for each $x_i$). QED Claim

Now take $f$ to be the $n$-th Hamilton cycle polynomial and $g$ to be the $m$-th permanent, and suppose that $f$ is a monotone projection of $g$. The Newton polytope of the permanent (and determinant, incidentally), is the cycle cover polytope. This polytope is easily described by the "edge" variables $e_{ij}$ and the $m$ equations stating that every vertex has degree exactly 2.

The Newton polytope of the Ham. Cycle polynomial is the Hamiltonian cycle polytope (surprise, surprise). But this polytope is the TSP polytope, which requires $2^{n^{\Omega(1)}}$ equations to describe any extended formulation of, which, when $m$ is subexponential, contradicts the small extended formulation given by the cycle cover polytope and $L_{\pi}$ as above.

(Note that this argument fails if $f$, $g$, or $\pi$ can have negative coefficients, as then there can be cancellations, so $L_{\pi}$ need not map onto $New(f)$.)

It's interesting to note that the geometry of these polytopes is closely related to the fact that matching is in $\mathsf{P}$ while Hamilton cycle is $\mathsf{NP}$-complete, but I think the above reasoning shows how the geometric structure here really can add something beyond that complexity classification.