Complessità lineare dei monomi

Sia un campo. Come al solito, per un definiamo la complessità della linea retta di su . Sia l'insieme dei monomi di , ovvero i monomi che compaiono in con coefficiente diverso da zero. $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ $f$ $k$ $F$ $f$ $f$

È vero che ? $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$

Si conosce anche qualche limite superiore più debole per ? $L(m)$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
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Risposte:

Se allora ha

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

monomi e

. Secondo un argomento di conteggio, ci sono

programmi a linea retta di lunghezza

. Poiché

ha più monomi, per alcuni abbiamo bisogno di un programma più lungo. In realtà questo argomento fornisce un monomio

per il quale

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
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Come piccolo esempio costruttivo basato sulla risposta di domotorp, si può prendere

con

mentre

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno,

@domotorp, grazie per la bella risposta. Anche questo sembra essere il limite superiore? Oppure ci possono essere limiti inferiori migliori?

— Gorav Jindal,

Non lo so, ma dato che questo esempio è stato così semplice, immagino che il divario possa essere più ampio, forse anche esponenziale.

— domotorp,

Ho una "prova" che esiste un limite superiore lineare ... Dove sbaglio (dal momento che hai dimostrato un limite inferiore quadratico)? E 'come segue: Con una SLP di dimensione

, a calcolare un polinomio di grado totale

. Ora

ha un SLP di dimensioni al massimo di

con esponenziazione binaria. Un monomio di grado

-varia ha quindi un SLP di dimensioni al massimo

(limite molto approssimativo): calcola tutte le

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$ e quindi il loro prodotto. Pertanto, se consideriamo un polinomio

, il suo grado totale è al massimo di

e ogni monomio ha un SLP di dimensioni al massimo di

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$

— Bruno,

@Bruno: bella dimostrazione e non c'è niente di sbagliato, ma non è lineare, poiché moltiplichi

. Ma poiché sappiamo che

può dipendere al massimo da

variabili, possiamo assumere

, che implica il limite quadratico richiesto. Quindi

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp,

Nota: questa è un'espansione di un commento precedente, poiché l'OP ha chiesto esplicitamente limiti superiori più deboli.

$f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

$x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

$m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

$n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

$L(m)$ $L(f)$

— Bruno
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