Implicazioni delle varianti di ipotesi di Riemann in TCS

L' ipotesi di Riemann di oltre un secolo e mezzo ha profonde implicazioni in matematica e un grande edificio della teoria matematica è ora dimostrato in modo condizionale su di esso e numerose varianti. Di recente mi sono imbattuto in un riferimento a un risultato condizionale nel TCS basato sull'ipotesi di Riemann. Mi chiedo quindi,

quali sono le principali implicazioni dell'ipotesi di Riemann nel TCS?

Come inizio ecco un esempio di un recente articolo, Polinomi omomorfici completi per VP di Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre e Saurab. Dall'introduzione del documento:

Una delle domande aperte più importanti nella teoria della complessità algebrica è decidere se le classi VP e VNP sono distinte. Queste classi, definite per la prima volta da Valiant in [13, 12], sono analoghi algebrici delle classi di complessità booleana P e NP, e separarle è essenziale per separare P da NP (almeno in modo non uniforme e assumendo l'ipotesi di Riemann generalizzata, sopra il campo , [3]). $\mathbb{C}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— VZN
fonte

È noto che l'RH generalizzato implica che possiamo derandomizzare il test di primalità di Miller-Rabin. Ma non so se ci sia qualcosa di più profondo o più vasto in relazione a questo.

— usul

Hmm, penso che ci sia anche qualche relazione con il problema di trovare in modo deterministico rapidamente un numero primo grande ( ovvero, dato in binario, trova un numero primo maggiore di ). Spero che qualcuno esperto possa commentare.

n

$n$

n

$n$

— usul

@usul RH implica che per tutti i

grandi , esiste un numero primo in

, che fornisce un algoritmo deterministico alquanto non banale, ma è molto lontano da ciò che vogliamo. Inoltre, sappiamo come ottenere lo stesso tempo di esecuzione senza RH, vedere il documento del progetto polymath arxiv.org/abs/1009.3956 . Credo che un migliore algoritmo deterministico per trovare numeri primi ipotizzando che RH sarebbe un risultato significativo.

n

$n$

[n, n + n^{0.5 + o (1)}]

$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— Sasho Nikolov,

Inoltre, un'estensione di RH fornisce un buon limite superiore al minimo primo nelle progressioni aritmetiche (vedere, ad esempio, la Sezione 5.5.4 in shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf ).

— Alex Golovnev,

Risposte:

Primo, non sono a conoscenza di alcuna applicazione CS dell'ipotesi di Riemann in quanto tale. Esistono varie applicazioni di generalizzazioni di RH.

In secondo luogo, una nota terminologica: contrariamente alla credenza popolare, non esiste "l'ipotesi generalizzata di Riemann" o "l'ipotesi estesa di Riemann". Entrambi questi termini sono usati più o meno in modo intercambiabile in letteratura come una denotazione libera di qualsiasi tipo di generalizzazione della RH in una classe di funzioni a Non hanno un significato specifico fisso, o almeno nessuno coerente tra lavori di autori diversi (o anche documenti diversi dello stesso autore). $L$

$\mathbb C$ $\zeta$

$m$ $\chi(x)=-1$ $x=O((\log m)^2)$ $O$ $L$ $\zeta$ $L$ $\zeta$

$\sqrt x$

— Emil Jeřábek
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L

$L$

ζ

$\zeta$

@ François: anch'io sono abituato a questa terminologia. Ma per esempio, il libro abbastanza noto di Bach e Shallit lo definisce esattamente nel modo opposto (che per inciso contraddice il suo stesso uso nel suo documento "Limiti espliciti ...").

— Emil Jeřábek,

FACTORING in PPA non è un'implicazione interessante? arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

Può essere. Questa è un'istanza di "Le conseguenze sono che si possono derandomizzare diversi algoritmi, come ..." nel penultimo paragrafo, e non credo sia necessario pubblicizzare il mio lavoro nella risposta.

— Emil Jeřábek,

Supponendo un'ipotesi estesa di Riemann, LM Adleman e HW Lenstra hanno fornito un algoritmo temporale polinomiale per trovare un polinomio irriducibile di grado desiderato su un campo finito: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .PDF

— Lin Bingkai
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