Le catene del cambio sono bicolore?

Per Indichiamo con la più piccolo elemento di .$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

Per due insiemi di elementi , , diciamo che se per ogni .$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

Un ipergrafo Uniform è chiamato spostamento a catena se per qualsiasi hyperedges, , abbiamo o . (Quindi una catena di turni ha al massimo hyperedges.)$k$${\mathcal H}\subset [n]$A , B ∈ H A ≤ B B ≤ A k ( n - k ) + 1$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

Diciamo che un ipergrafo è bicolore (o che ha la proprietà B) se possiamo colorare i suoi vertici con due colori in modo tale che nessun hyperedge sia monocromatico.${\mathcal H}$

È vero che le catene del cambio sono bicolore se è abbastanza grande?$k$

Osservazioni. Ho pubblicato questo problema per la prima volta su mathoverflow , ma nessuno ha commentato.

Il problema è stato esaminato nel 1 ° seminario di Emlektabla per alcuni risultati parziali, vedere l' opuscolo .

La domanda è motivata dalla decomposizione di più rivestimenti del piano mediante traslazioni di forme convesse, ci sono molte domande aperte in quest'area. (Per di più, vedi la mia tesi di dottorato .)

Per esiste un banale controesempio: (12), (13), (23).$k=2$

Un controesempio molto magico è stato dato per da Radoslav Fulek con un programma per computer:$k=3$

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Se permettiamo all'ipermetrografo di essere l'unione di due catene di turni (con lo stesso ordine), allora c'è un controesempio per ogni .$k$

Aggiornare. Di recente sono riuscito a dimostrare che in questa prestampa sono disponibili versioni bicolore delle catene del cambio .

Taglie permanenti! Sono felice di assegnare una taglia 500 per una soluzione in qualsiasi momento!

Questa non è una risposta Ciò che segue è una semplice prova che la costruzione di k = 3 è davvero un controesempio. Penso che il richiedente sia a conoscenza di questa prova, ma la pubblicherò comunque perché la prova è buona e questo potrebbe essere utile quando le persone considerano il caso di k più grande .

È facile verificare che si tratti di una catena di turni. Mostriamo che non ha proprietà B.

In effetti, il sottoipergrafo {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} non riesce già a soddisfare Proprietà B. per vedere questo, supporre che questo ipergrafo ha una 2-colorazione e lasciare c _io essere il colore del vertice i . Guarda tre hyperedges (145), (245), (345). Se c ₄ = c ₅ , allora tutti 1, 2 e 3 devono avere il colore opposto a c ₄ , ma ciò darebbe un hyperedge monocromatico (123). Pertanto, deve essere il caso che c ₄ ≠ c ₅ . Allo stesso modo,

• c ₃ ≠ c ₄ confrontando le tre iperedges (345), (346), (347) e notando un hyperedge (567).
• c ₆ ≠ c ₇ confrontando le tre iperedges (367), (467), (567) e notando un hyperedge (345).
• c ₅ ≠ c ₆ confrontando le tre iperedges (567), (568), (569) e notando un hyperedge (789).

Pertanto, abbiamo c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇ . Ma questo implica c ₃ = c ₅ = c ₇ , rendendo l'hyperedge (357) monocromatico. Ciò contraddice l'ipotesi della colorazione 2.

Forse mi manca qualcosa, ma penso che ci sia un buon limite inferiore con il metodo probabilistico:

$1/2$$2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$

$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$