È un fatto abbastanza noto che derivare una contraddizione da una disuguaglianza (per esempio, da ) nella teoria del tipo di Martin-Loef richiede un universo.
La dimostrazione è anche abbastanza semplice: in assenza di universi, possiamo cancellare le dipendenze da qualsiasi tipo dipendente per ottenere un tipo semplice come la sua forma, e così dimostrando che implica che possiamo dimostrare per un atomo arbitrario , che ovviamente non è possibile.p → ⊥ p
Tuttavia, non riesco a trovare chi lo ha dimostrato per primo! Qualcuno ha un riferimento?
"A New Paradox in Type Theory" (94) di Coquand descrive la semantica a valore di verità della logica minima di ordine superiore e sembra suggerire che questa interpretazione era nota prima. Mi sembra di ricordare una menzione di un tale modello anche per la teoria del tipo di Russell, ma non riesco a trovarlo ...
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cody
Questo testo di Martin Hoffman conferma la referenza di Jan Smith nella risposta e presenta una presentazione ragionevole di quella prova con semantica categorica negli esercizi ioc.ee/~james/ITT9200/SyntaxAndSemanticsof%20DependentTypes.pdf
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user833970,