Quadro logico vs teoria dei tipi

Qual è la differenza tra la struttura logica e la teoria dei tipi? Entrambi hanno tipi, termini e si basano su calcoli lambda tipicamente dipendenti.

Abbiamo Edinburg LF che si basa sul calcolo lambda-pi, tuttavia, mi sembra che ci sia qualche sottile differenza lì.

lo.logic type-theory

— Konstantin Solomatov
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Sommario. Un framework logico è un meta-linguaggio per la formalizzazione di sistemi deduttivi, in cui le detrazioni diventano oggetti sintattici.

Ovviamente ciò che conta come meta-linguaggio è piuttosto vago ed è utile comprendere lo sviluppo storico delle strutture logiche. Il primo quadro logico fu Automath (1) di de Bruijn, che si basa sul calcolo $\lambda$ . Molte delle idee della famiglia di lingue Automath si sono fatte strada nei moderni quadri logici. Anche il lavoro di Martin-Löf su teorie costruttive di tipo, anch'esse basate su calcoli $\lambda$ , è stato influente.

$\lambda$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$ $A \rightarrow B$ $\Pi x^A. B$

\frac{Γ ⊢ M : UN \to B Γ ⊢ N : UN}{Γ ⊢ M N : B} \frac{Γ ⊢ M : Π X^{UN} . B Γ ⊢ N : UN}{Γ ⊢ M N : B {N / X}}

$\newcommand{\TYPES}[3]{#1 \vdash #2 : #3} \newcommand{\SUBST}[2]{\{#1/#2\}} \frac{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{M}}{A \rightarrow B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{MN}}{B} } \qquad \frac{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}M}}{\Pi x^A. B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}{MN}}}{B\SUBST{{\color{red}N}}{x}} }$

A sinistra abbiamo la regola per il semplice -calculus tipizzato , a destra la regola che generalizza la sinistra con dipendenza dal tipo. Vediamo che un valore "scorre" nel tipo nella conclusione a destra. $\lambda$

Penso che l'assistente interattivo per le prove Isabelle usi una logica intuitiva del secondo ordine basata su -calculus, senza numeri o tipi di dati ricorsivi come framework logico. Vari altri sono stati proposti. $\lambda$

Un vantaggio dell'uso di -calculi come framework logico è che i costrutti di associazione come quantificatori universali possono essere implementati usando il legante del framework. Si noti che la maggior parte dei framework logici sono espressamente deboli: i framework supportano il ragionamento a livello di oggetto, ma sono insufficienti per eseguire molti ragionamenti meta-teorici oltre al fatto che una particolare istruzione a livello di oggetto è un teorema. In effetti, la logica del metallo è di solito così debole che è persino impossibile dimostrare il teorema della deduzione per una logica di oggetti in stile Hilbert. Naturalmente nulla ti impedisce di usare teorie del tipo più potenti come framework logico. $\lambda$ $\lambda$

Per queste ragioni pratiche e storiche, la maggior parte dei quadri logici in uso oggi sono tipizzati -calculi, cioè teorie del tipo. Vedi (3, 4) per discussioni più approfondite sui framework logici. $\lambda$

N. de Bruijn: il linguaggio matematico AUTOMATH, il suo utilizzo e alcune delle sue estensioni.
RF Harper, F. Honsell, G. Plotkin: un framework per la definizione di logiche .
F. Pfenning: quadri logici.
F. Pfenning: quadri logici - Una breve introduzione .

— Martin Berger
fonte

Conoscete qualche libro introduttivo sugli assistenti di correzione (framework logici) adatto a qualcuno che già conosce le basi del calcolo lambda semplicemente digitato e della logica del primo ordine?

— Trismegisto,

@Trismegistos Temo di no. Suggerisco di imparare un assistente specifico. Agda è il più facile da affrontare in quanto è fondamentalmente Haskell, ma con tipi dipendenti. Nella mia esperienza, il quadro logico non è importante quanto le altre dimensioni degli assistenti di prova. Ad esempio Isabelle è un prover generico che puoi creare un'istanza con diverse logiche, quindi espone davvero il framework logico. Ma Isabelle / HOL è l'unica istanza utilizzata nella pratica. Questo perché tutte le tattiche di prova, tutto il supporto prover è stato scritto per la logica degli oggetti HOL. E l'usabilità di un prover dipende da quelli.

— Martin Berger,