Perché Martin-Löf aveva bisogno di creare una teoria del tipo intuizionista?

Ho letto la teoria del tipo intuitivo (ITT) e ha senso. Ma quello che sto lottando per capire è "perché" è stato creato in primo luogo?

Intuitionistic Logic (IL) e Simple tiped -calculus (STLC) e la teoria dei tipi in generale precedono l'esistenza stessa dello stesso Martin-Löf! Sembra che in STLC si possa fare tutto ciò che è fattibile in ITT (potrei sbagliarmi, ma almeno mi sembra così). $\lambda$

Allora, qual è stato il "romanzo" su ITT e in che modo (o) esattamente ha fatto avanzare la teoria del calcolo? Da quello che ho capito, ha introdotto la nozione di "tipi dipendenti", ma sembra che fossero già lì in STLC, in un certo senso. Il suo ITT è stato un tentativo di astrazione per comprendere insieme i principi di base di STLC e IL? Ma STLC non lo ha già tenuto? Quindi, solo perché ITT è stato creato in primo luogo? Qual è / era il punto?

Ecco un estratto da Wikipedia : Ma non ho ancora il motivo dietro la sua creazione che non esisteva già prima.

La prima bozza di articolo di Martin-Löf sulla teoria dei tipi risale al 1971. Questa teoria impredicativa generalizzava il Sistema F. di Girard. Tuttavia, questo sistema si rivelò incoerente a causa del paradosso di Girard che fu scoperto da Girard quando studiava il Sistema U, un'estensione incoerente del Sistema F. Questa esperienza ha portato Per Martin-Löf a sviluppare le basi filosofiche della teoria dei tipi, la sua spiegazione del significato, una forma di semantica teorico-dimostrativa, che giustifica la teoria dei tipi predicativa come presentata nel suo libro di Bibliopolis del 1984 ...

Dall'estratto sembra che la ragione fosse quella di sviluppare le " basi filosofiche della teoria dei tipi " - Pensavo che questa fondazione esistesse già (o forse pensavo che lo fosse). Era questa la ragione principale allora?

Molto brevemente: il semplice digitato $\lambda$-calculus non ha tipi dipendenti. I tipi dipendenti furono proposti da de Bruijn e Howard che volevano estendere la corrispondenza Curry-Howard dalla logica proposizionale alla logica del primo ordine. Il contributo chiave di Martin-Löf è una nuova analisi dell'uguaglianza. Esistono due modi principali per rendere conto dell'uguaglianza in stile Curry-Howard.

• Usare la regola di Leibniz sull'identità degli indiscernibili per codificare l'uguaglianza proposizionale. Questo approccio viene utilizzato nel calcolo delle costruzioni, ma richiede universi impredicativi che furono respinti da Martin-Löf per ragioni filosofiche.

• Una caratterizzazione diretta costruttiva dell'uguaglianza. Dare una tale caratterizzazione usando tipi di identità potrebbe essere la principale novità della teoria del tipo intuizionista di Martin-Löf.

I tipi di identità sembrano ingannevolmente semplici oggi, ma hanno ricentrato la comprensione della teoria dei tipi in parte perché hanno dato origine a domande semantiche intriganti come: le prove di identità sono uniche? In un certo senso questa domanda porta alla teoria del tipo di omotopia e all'assioma dell'univalenza (che è incompatibile con l'unicità delle identità). Che l'unicità delle prove di identità non sia derivabile nella teoria del tipo intuizionista di Martin-Löf è stata mostrata da Hofmann e Streicher in: "L'interpretazione groupoid della teoria dei tipi". Per inciso, questo risultato mostra anche che la corrispondenza dei modelli non è un'estensione conservativa della teoria dei tipi tradizionale.