Ramificazione di una teoria del tipo imprevedibile

La maggior parte delle teorie sui tipi di cui sono a conoscenza sono predicative con le quali intendo quello

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

non è ben scritto nella maggior parte dei dimostratori di teoremi poiché questo tipo di pi appartiene allo stesso universo Prope non è così Prop : Prop. Questo li rende predicativi e non consente definizioni impredicative come quelle sopra. Tuttavia, moltissimi "linguaggi di lavagna" come System F o CoC sono in realtà impredicativi. In effetti, questa impredicatività è vitale per definire la maggior parte dei costrutti non inclusi in modo primitivo nella lingua.

La mia domanda è: perché si vorrebbe rinunciare all'impredicatività dato il suo potere nel definire costrutti logici? Ho sentito un paio di persone notare che l'impredicatività rovina "il calcolo" o "l'induzione", ma ho difficoltà a trovare una spiegazione concreta.

Elaborerò i miei commenti in una risposta. Le origini della teoria dei tipi predicativa sono quasi antiche quanto la teoria dei tipi stessa, poiché una delle motivazioni di Russel era vietare le definizioni "circolari" che sono state identificate come parte della fonte delle incoerenze e dei paradossi del XIX secolo. Thierry Coquand offre una panoramica illuminata qui . In questa teoria, i predicati su un "livello" o tipo appartengono ai tipi del livello "successivo", dove esiste un numero infinito (numerabile) di livelli.

Mentre la gerarchia predicativa di Russel era (apparentemente) sufficiente per respingere i paradossi noti, si rivelò molto difficile da usare come sistema di base. In particolare, definendo anche qualcosa di semplice come il sistema reale numero era estremamente difficile, e così Russel postulato un assioma, l' assioma della Riducibilità che postulato che tutti i livelli sono stati "ridotti" ad uno. Inutile dire che questo non è stato uno sviluppo soddisfacente.

Tuttavia, contrariamente alle affermazioni impredicative "dannose" (come la comprensione senza restrizioni), questo assioma non sembra introdurre incoerenze. Le successive formulazioni di teorie fondamentali ( semplice teoria dei tipi , teoria degli insiemi di Zermelo ) le accettarono all'ingrosso, creando famiglie di predicati (quantificando possibilmente l'intero universo degli insiemi), predicati allo stesso livello.

Intorno al 1971, Martin-Löf introdusse una teoria dei tipi dipendenti in cui valgono sia questo principio sia l'ulteriore assioma Type : Type. Questo sistema si è rivelato incoerente per ragioni impercettibili: l'ingenuo paradosso di Russel non può essere riprodotto (in modo semplice), ma una codifica intelligente consente tuttavia di trovare una contraddizione. Ciò ha provocato una crisi di fede simile a quella di Russel, risultando nella teoria del tipo predicativo con universi che conosciamo e amiamo.

C'è un modo per riparare la teoria per consentire l'impredicatività "innocente" alla teoria dell'insieme di Zermelo, risultando in teorie del tipo come il Calcolo delle costruzioni, ma il danno è stato fatto e la "scuola svedese" di teoria del tipo tende a rifiutare l'impredicatività.

Diversi punti:

1. Cosa c'entra questo con la matematica intuizionista? La risposta non è molto A cavallo del XX secolo, i matematici tendevano a confondere l'uso di principi circolari / impredicativi con ragionamenti non costruttivi (l'intuizione è che il ragionamento impredicativo sembra assumere un universo matematico preesistente , così come gli usi del mezzo escluso). Tuttavia, ci sono teorie impredicative perfettamente intuizionistiche (come IZF ). Le persone interessate all'intuizionismo tendono ancora ad essere interessate al predicativismo per qualche motivo (ovviamente sono colpevole di questo).

2. Cosa puoi fare in matematica predicativa? Come sottolinea Martin nella sua risposta, Hermann Weyl (da non confondere con Andre Weil) ha avviato un programma che ha cercato di esplorare il potere espressivo dei sistemi predicativi, prendendo come punto di partenza che i sistemi predicativi erano di forza espressiva tra Peano Arithmetic e il Secondo Ordine L'aritmetica , che è praticamente accettata per essere impredicativa dalla maggior parte degli standard (ed è paragonabile al Sistema F dal lato della teoria dei tipi). Il programma fu in seguito soprannominato "matematica inversa" nel tentativo di classificare la forza dei teoremi matematici noti in termini di assiomi richiesti per dimostrarli (il contrario del solito approccio). Illa pagina di Wikipedia offre una buona panoramica; il programma ebbe un discreto successo, in quanto la maggior parte della matematica del XIX secolo può essere facilmente sistemata in sistemi molto deboli. È ancora una domanda aperta se questo programma può scalare a risultati più recenti, per esempio, in una teoria di categoria superiore (il sospetto è che la risposta sia "sì, con grande sforzo").

Una dimensione è l'inferenza del tipo. L'inferenza di tipo F del sistema, ad esempio, non è decidibile, ma alcuni suoi frammenti predicativi hanno un'inferenza di tipo (parziale) decidibile.

Un'altra dimensione è la coerenza come logica. Illustri pensatori storicamente si sono sentiti un po 'in ansia per avere basi impredicative della matematica. Dopotutto, è una forma di ragionamento circolare. Penso che H. Weyl potrebbe essere stato il primo o, uno dei primi, a cercare di ricostruire il maggior numero possibile di matematica in modo predicativo ... solo per essere al sicuro. Abbiamo imparato che le circolarità dell'impredicabilità non sono problematiche nella matematica classica, nel senso che nessuna contraddizione è mai stata derivata da definizioni impredicative "docili". Nel tempo, abbiamo imparato a fidarci di loro. Si noti che questa (assenza di paradosso) è empiricaosservazione! Tuttavia, gran parte dello sviluppo della teoria delle prove, con le sue strane costruzioni ordinali, ha come obiettivo ultimo il desiderio di costruire tutta la matematica "dal basso", cioè senza definizioni impredicative. Questo programma non è completato Negli ultimi anni, l'interesse per le basi predicative della matematica si è spostato dalle preoccupazioni per i paradossi al contenuto computazionale delle prove, che sono interessanti per vari motivi. Si scopre che definizioni impredicative rendono difficile l'estrazione di contenuti computazionali. Un altro aspetto nella preoccupazione per la coerenza viene dalla tradizione Curry-Howard. La teoria del tipo originale di Martin-Löf era impredicativa ... e non fondata. A seguito di quello shock, propose solo sistemi predicativi, ma combinato con tipi di dati induttivi per riguadagnare gran parte del potere dell'impredicatività.

Le teorie dei tipi tendono alla prevedibilità principalmente per motivi socio-tecnici.

Innanzitutto, il concetto informale di impredicatività può essere formalizzato in (almeno) due modi diversi. Innanzitutto, diciamo che una teoria dei tipi come il Sistema F è impredicativa perché la quantificazione dei tipi può variare su tutti i tipi (incluso il tipo a cui appartiene il quantificatore). Quindi possiamo definire operatori generici di identità e composizione:

Tuttavia, si noti che nella teoria degli insiemi standard (ad es. ZFC), queste operazioni non sono definibili come oggetti . Non esiste qualcosa come "la funzione identità" nella teoria degli insiemi, perché una funzione è una relazione tra un insieme di domini e un insieme di codomain e se una singola funzione potrebbe essere la funzione di identità, è possibile utilizzarla per costruire un insieme di tutti i set. (Questo è fondamentalmente il modo in cui John Reynolds ha dimostrato che il polimorfismo in stile System-F non aveva modelli teorici fissi.)

$X$$S$$P$$X$$P$$X$

Quindi l'impredicatività in stile F è incompatibile con una visione ingenua dei tipi come set. Se stai usando la teoria dei tipi come assistente di prova, è bello poter eseguire facilmente il porting della matematica standard sul tuo strumento, e quindi la maggior parte delle persone che implementano tali sistemi semplicemente rimuovono l'impredicatività. In questo modo tutto ha una lettura sia teorica che teorica dei tipi, e puoi interpretare i tipi in qualunque modo sia più conveniente per te.