Precisione numerica nel metodo della somma dei quadrati?

Ho letto un po 'del metodo della somma dei quadrati (SOS) dall'indagine di Barak & Steurer e dagli appunti di Barak . In entrambi i casi spazzano via i problemi di precisione numerica sotto il tappeto.

Dalla mia comprensione (ammessa limitata) del metodo, dovrebbe essere vero quanto segue:

Dato qualsiasi sistema di uguaglianze polinomiali su variabili con valori reali , dove tutti i parametri sono ( , e grado di ciascun vincolo), il grado- " "( ) Il metodo SOS trova un'assegnazione soddisfacente delle variabili o dimostra che non ne esiste alcuna nel tempo . $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

La mia prima domanda è se l'affermazione di cui sopra è vera (c'è un argomento ingenuo che non usa SOS per risolvere questo?). La seconda domanda è dove si inserisce l'accuratezza numerica. Se voglio ottenere un incarico che soddisfi tutti i vincoli entro l' accuratezza additiva , in che modo l'autonomia dipende da ? In particolare, è polinomiale?$\varepsilon$$1/\varepsilon$

La motivazione per questo è, per esempio, applicare un approccio di divisione e conquista su un sistema di grandi dimensioni fino a quando il caso base non è un sistema di dimensioni .$O(1)$

EDIT: Da Barak-Steurer, sembra che l' algoritmo "grado somma dei quadrati" a p.9 (e i paragrafi che lo precedono) definiscono tutti i problemi per soluzioni su , e in effetti il la definizione di una pseudo-distribuzione nella sezione 2.2 è finita . Ora sto vedendo da Lemma 2.2, tuttavia, che non è garantita una soluzione / confutazione al grado senza variabili binarie.$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

Quindi posso affinare un po 'la mia domanda. Se le tue variabili non sono binarie, la preoccupazione è che la sequenza di output non sia finita (forse nemmeno un aumento monotonico?). Quindi la domanda è: è ancora in aumento? E se è così, quanto lontano devi andare per ottenere l'accuratezza additiva ?$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Anche se questo probabilmente non cambia nulla, mi capita di conoscere il mio sistema è soddisfacibile (non v'è alcuna confutazione di qualsiasi grado), quindi sono davvero solo preoccupati per quanto grande deve essere. Infine, sono interessato a una soluzione teorica, non a un risolutore numerico.$l$

Ecco il commento di Boaz Barak sulla questione:

Approfondiamo l'accuratezza numerica sotto il tappeto - la letteratura SOS più "tradizionale" di Parrilo, Lasserre ecc. Affronta questi problemi (ad esempio, vedi i sondaggi di Monique Laurent e i riferimenti in essi). È noto che la gerarchia è monotona (non è difficile vedere che un grado psuedo-distribuzione è in particolare un grado l - 1 uno) e che converge in gradi finiti per qualsiasi insieme fisso di equazioni (questo è il Positivstellensatz). Il grado esatto potrebbe variare. In generale, se tutti i coefficienti dei polinomi sono limitati e si sta tentando di distinguere tra il caso in cui esiste una soluzione e il caso in cui in qualsiasi assegnazione una delle equazioni è disattivata di ϵ , si potrebbe discretizzare questo in un$l$$l-1$$\epsilon$ -net per δ in relazione al numero di variabili, grado di equazioni e ϵ , e quindi (supponendo che la rete sia sufficientemente "piacevole" e "simile a un cubo") il grado richiesto dovrebbe essere approssimativamente registrare la dimensione della rete.$\delta$$\delta$$\epsilon$

Penso che la mia risposta sia probabilmente insufficiente, ma rimane per completezza (anche se vedi i commenti di Boaz di seguito per probabilmente una risposta migliore)

Quando ci limitiamo a variabili booleane, la pretesa può essere vista quando per tutti i ∈ [ n ] con l'osservazione che le pseudo-distribuzioni di grado 2 n sono distribuzioni effettive, cioè supponiamo di avere una pseudo-distribuzione μ ( x ) su soluzioni x delle tue uguaglianze polinomiali E soddisfacente:$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

e ∑ x ∈ { - 1 , 1 } n μ ( x ) p 2 ( x ) ≥ 0 per tutti i polinomi p con grado al massimo$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Ma i polinomi di grado includono l'indicatore polinomiale (ad esempio, x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 ha 2 - 3 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 3 ) che è tutto zero altrove e 1 su quell'assegnazione). Quindi μ ( x ) ≥ 0 per tutti x ∈ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$ , così concludiamo μ è una distribuzione effettiva sulle soluzioni di E . La laurea ℓ pseudo-distribuzioni può essere trovata usando la programmazione semidefinita per trovare un grado ℓ operatore pseudo-aspettativaassociatoin n O ( ℓ ) tempo, quindi possiamo trovare la distribuzione effettiva μ nel tempo n O ( n ) usando quella pseudo- aspettativa (ora un'aspettativa effettiva) di trovare tutti i momenti di μ .$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

Quindi, se , quindi puoi trovare una distribuzione di soluzioni a E nel tempo O ( 1 ) . Naturalmente, la ricerca della forza bruta garantisce lo stesso.$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Tuttavia, se le soluzioni non sono necessariamente booleano, quindi degree- pseudo-aspettative non sono sufficienti per trovare una distribuzione rispetto alle soluzioni. Come si può vedere sopra, la prova che misura 2 n pseudo-distribuzioni sono distribuzioni effettivi dipende dal fatto che grado n polinomi sono sufficienti a 'scegliere' individuali assegnazione, che non è più in generale vero. Un altro modo di vederlo è che i polinomi a variabile booleana sono considerati$2n$$2n$$n$ , quindi il grado di ogni monomio è al massimo n .$\mod(x_i^2)$$n$

Ad esempio, si potrebbe considerare sostituendo ogni variabile binaria con una variabile 4-ario, diciamo includendo . Quindi dovresti avere un grado 4 n pseudo-aspettativa per garantire il recupero di una distribuzione rispetto alle soluzioni.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Ora, per garanzie teoriche, sembra che l'approssimazione di una radice di un sistema di polinomi sia anche noto come il 17 ° problema di Smale, e apparentemente esiste un algoritmo di tempo polinomiale randomizzato (Las Vegas) che risolve questo problema - vedi http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Si noti che questo sembra essere nel modello Blum-Shub-Smale, quindi le operazioni reali sono la primitiva. Non sono sicuro che questo dia la garanzia di cui hai bisogno.