Perché ai costruttivisti non sembra importare troppo di call / cc

Quindi un po 'di tempo fa per prima cosa qualcuno mi ha detto che call / cc poteva consentire oggetti di prova per prove classiche implementando la legge di Peirce. Di recente ho riflettuto sull'argomento e non riesco a trovare un difetto. Tuttavia, non riesco proprio a vedere nessun altro parlarne. Sembra privo di discussione. Cosa dà?

Mi sembra che se hai una costruzione come in qualche contesto, allora 1 di due cose è vera. O hai accesso a un'istanza qualche modo nel contesto attuale, nel qual caso il flusso di controllo non raggiungerebbe mai qui e siamo sicuri di assumere qualunque cosa OR dato che significa l'unico modo in cui può restituire è costruendo un'istanza di e applicandola due è l'argomento (un'istanza di . In tal caso, c'era già ALCUNO modo di costruire un'istanza di⊥ f : ¬ ( ¬ P ) f : ( P → ⊥ ) → ⊥ f ⊥ P P → ⊥ ) $f : \neg(\neg P)$$\bot$$f : \neg(\neg P)$$f : (P \to \bot) \to \bot$$f$$\bot$$P$$P \to \bot)$$P$; sembra ragionevole per call / cc estrarre questa costruzione per me. Il mio ragionamento qui mi sembra in qualche modo sospetto, ma la mia confusione è ancora valida. Se call / cc non sta semplicemente creando un'istanza di dal nulla (non vedo come sia) allora qual è il problema?$P$

Alcuni termini ben digitati che non contengono call / cc non hanno moduli normali? C'è qualche altra proprietà di tali espressioni che li rende sospetti? C'è qualche motivo noto per cui un costruttivista non dovrebbe gradire call / cc?

La matematica costruttiva non è solo un sistema formale, ma piuttosto una comprensione di ciò che la matematica riguarda. O, per dirla diversamente, non tutti i tipi di semantica sono accettati da un matematico costruttivo.

A un matematico costruttivo call/ccsembra imbrogliare. Considera come assistiamo a usando :$p \lor \lnot p$call/cc

1. Forniamo una funzione che presumibilmente dimostra ¬ p . In realtà f è un sacco di trucchi.$f$$\lnot p$$f$
2. Se qualcuno applica mai a una prova di p , allora f si scatena per ripristinare il tempo, e con una prova di p in mano, cambia idea su p ∨ ¬ p : questa volta affermando che si tratta di una prova di p .$f$$p$$f$call/cc$p$$p \lor \lnot p$$p$

La comprensione costruttiva della disgiunzione è la decidibilità algoritmica , ma quanto sopra difficilmente prende decisioni. Come test, un matematico costruttivo potrebbe chiederti come call/ccaiuta a dimostrare che ogni macchina di Turing si ferma o diverge. E a che cosa sta assistendo questo programma? (Dovrebbe essere l'Halting Oracle.)

Come notate, esiste una possibile interpretazione costruttiva della logica classica in questo senso. Il fatto che la logica classica sia coerente con la logica intuizionistica (diciamo, Heyting Arithmetic) è noto da tempo (già nel 1933, ad esempio Godel ) usando una doppia traduzione della negazione.

Da un argomento più sofisticato, si può dimostrare che l'aritmetica di Peano è conservativa rispetto all'HA per le dichiarazioni . L'essenza del risultato è che le prove classiche di Π 0 2 che coinvolgono c a l l / c c hanno lo stesso contenuto computazionale di un'istruzione senza quel costrutto (mediante una trasformazione CPS ).$\Pi^0_2$$\Pi^0_2$$\mathrm{call/cc}$

Tuttavia, ciò non è vero per le dichiarazioni sopra : le dichiarazioni in Σ 0 3 , dimostrabili in PA, potrebbero non avere una forma normale suscettibile di estrarre un testimone! Gli informatici potrebbero non interessarsi del calcolo con prove a questo livello, ma è in qualche modo scomodo per considerazioni filosofiche : abbiamo provato l'esistenza di qualcosa o no?$\Pi^0_2$$\Sigma^0_3$

Penso che questo riassuma il motivo per cui "fissare" la logica non costruttiva mediante l'aggiunta di potrebbe non essere soddisfacente.$\mathrm{call/cc}$

Detto questo, c'è molto lavoro che esplora gli aspetti computazionali del calcolo all'interno del framework "Curry-Howard classico", ad esempio la macchina Krivine, il calcolo di Parigot ( ) e molti altri. Vedi qui per una panoramica.$\lambda\overline{\mu}\tilde\mu$

Infine, potrebbe essere utile notare che mentre la situazione è piuttosto ben compresa nel calcolo del predicato e nei casi aritmetici, le teorie più potenti sono molto meno esplorate. Ad esempio, IIRC, ZFC è conservativo su IZF anche per frasi (ZFC è conservativo su ZF per frasi aritmetiche e ZF è conservativo su IZF), il che suggerisce che esiste un significato computazionale per l'assioma della scelta. Tuttavia questo è un campo di ricerca molto attivo ( Krivine , Berardi et al. )$\Pi^0_2$

Modifica: una domanda molto rilevante su mathoverflow appare qui: /mathpro/29577/solved-sequent-calculus-as-programming-language

Sono d'accordo con la risposta di Andrej e Cody. Tuttavia, penso che valga la pena menzionare anche perché i costruttivisti dovrebbero preoccuparsi degli operatori di controllo (call / cc).

$\neg\neg P\vdash P$

$\Pi^0_2$

$P$$\Sigma^0_1$