Sulla derandomizzazione del test di identità polinomiale

Nel test di identità polinomiale cerchiamo un algoritmo deterministico per inferire l'uguaglianza di due polinomi . Deralizzare algoritmi randomizzati efficienti noti e produrre un algoritmo deterministico efficiente è un importante problema aperto. Esiste un problema completo per PIT in modo che la derandomizzazione dei test di identità per questa classe di polinomi risolva questo problema aperto? In caso contrario, ci sono classi di polinomi in cui viene risolto questo problema e classi in cui sono aperte?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Si sa molto ed è un'area molto attiva! [/tl;dr]

È importante specificare la rappresentazione dei polinomi di input, poiché vengono forniti come elenchi di coefficienti o monomi diversi da zero, il problema è banale. Pertanto, di solito si presume che i polinomi siano dati come circuiti aritmetici (ovvero programmi in linea retta). E il caso generale in realtà si riduce a verificare se un determinato polinomio è il polinomio zero.

Ci sono due impostazioni principali che sono state studiate: il caso whitebox in cui si ha il circuito aritmetico e può controllarlo, e il caso blackbox in cui si conoscono alcune cose sul circuito (dimensioni, grado formale, ...) ma non è possibile ispezionalo, valutalo solo su alcuni valori.

Ecco alcune delle restrizioni sui circuiti che sono stati studiati:

• Profondità limitata: la profondità di un circuito è il percorso più lungo da un ingresso al gate di uscita. Testare i circuiti di profondità è banale, la profondità 3 è molto ben compresa (completamente risolta? Non lo so ...), anche la profondità 4 è ben compresa. Ci sono risultati che mostrano che risolvere il problema per il circuito di profondità 3 e di profondità 4 è quasi uguale a risolvere il caso generale.$2$$3$$4$$3$$4$
• Fan-in superiore / inferiore: per i circuiti a profondità limitata, molti risultati sono stati dimostrati quando il fan-in (o arity, ovvero il numero di ingressi a una data porta) sia della porta superiore che delle porte inferiori è limitato.
• Altre restrizioni come un limite al numero di volte in cui viene utilizzata una variabile sono state studiate.

Questo sondaggio di Nitin Saxena è una buona fonte per questi risultati. Nota che ha già più di un anno (!) E questa è un'area molto attiva. Quindi i risultati più recenti non sono coperti.

Infine, ci sono collegamenti tra la derandomizzazione di PIT e la derandomizzazione di altri problemi:

• Lemma di normalizzazione di Noether , di Ketan D. Mulmuley;
• Fattorizzazione polinomiale multivariata , di Swastik Kopparty, Shubhangi Saraf e Amir Shpilka.