Un teorema di somma diretta per la complessità dello spazio della clausola Resolution?

La risoluzione è uno schema per dimostrare l'insoddisfazione dei CNF. Una prova di risoluzione è una deduzione logica della clausola vuota per le clausole iniziali del CNF. In particolare si può dedurre qualsiasi clausola iniziale e da due clausole e può dedurre anche la clausola Una confutazione è una sequenza di detrazioni che termina con una clausola vuota. $A \lor x$ $B \lor \neg{x}$ $A \lor B$

Se tale confutazione è implementata, possiamo considerare una procedura che mantiene alcune clausole in memoria. Nel caso in cui una clausola non iniziale debba essere riutilizzata e non sia più in memoria, l'algoritmo dovrebbe ripeterla da zero o da quella in memoria.

Lascia che il numero minimo di clausole da conservare in memoria per raggiungere le clausole vuote. Questo è chiamato lo spazio clausola di complessità della . Diciamo che è è soddisfacente. $Sp(F)$ $F$ $Sp(F)=\infty$ $F$

Il problema che sto suggerendo è questo: prendere in considerazione due CNFs e , e lasciare che il CNF $A=\bigwedge_{i=1}^m A_i$ $B=\bigwedge_{j=1}^n B_j$

A \lor B = ⋀_{i = 1}^{m} ⋀_{j = 1}^{n} A_{i} \lor B_{j}

$A \lor B = \bigwedge_{i=1}^m \bigwedge_{j=1}^n A_i \lor B_j$

Qual è la relazione di con e ? $Sp(A \lor B)$ $Sp(A)$ $Sp(B)$

Il limite superiore evidente è . È stretto? $Sp(A \lor B) \leq Sp(A) + Sp(B) -1$

— MassimoLauria
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Bella domanda! Conosci la risposta per la dimensione della somma diretta? Immagino che il caso peggiore sia quando A e B non hanno variabili condivise. Un caso interessante potrebbe essere quando A e B sono uguali fino alla ridenominazione della variabile. A proposito, non vedo come si ottiene quel limite superiore, sembra che possa essere molto peggio.

— Kaveh,

B

$B$

A_{i} \lor B_{j}

$A_i \lor B_j$

1 \leq j \leq n

$1 \leq j \leq n$

A_{i}

$A_i$

1 \leq i \leq m

$1 \leq i \leq m$

A

$A$

m . (S i z e (B) + O (1)) + S i z e (A)

$m.(Size(B)+O(1))+Size(A)$ .

— Kaveh,

F_{1} \lor F_{2} \lor \dots F_{k}

$F_1 \lor F_2 \lor \ldots F_k$

F_{i}

$F_i$

F

$F$

Si noti che per quanto riguarda la lunghezza della confutazione si ha facilmente

L e n g t h (A \lor B) \leq L e n g t h (B) | A | + L e n g t h (A)

$Length(A \lor B) \leq Length(B)|A|+Length(A)$

— MassimoLauria,

Il limite superiore dello spazio banale in realtà richiede una clausola in meno in memoria. Ho modificato di conseguenza.

— MassimoLauria,

Volevo pubblicare questo come commento, ma dal momento che non riesco a capire come farlo, immagino che dovrà essere una "risposta".

Sono d'accordo che la domanda sia buona. Naturalmente, la stessa domanda può essere posta anche sulla lunghezza delle confutazioni della risoluzione (cioè, il numero di clausole che si verificano nella confutazione, contate con ripetizioni) e la larghezza della confutazione (cioè, la dimensione o il numero di letterali che si verificano in , la più grande clausola nella confutazione).

In tutti questi casi ci sono limiti superiori "ovvi", ma non mi è chiaro se ci si debba aspettare di abbinare i limiti inferiori o meno. Pertanto, ho voluto aggiungere una domanda e un commento.

La domanda riguarda la lunghezza della confutazione. Sembra ragionevole credere che il limite per la lunghezza dichiarato nel commento di Massimo sia stretto, ma lo sappiamo?

$A$ $B_i$ $w_A$ $B$ $B$ $w_B$ $\max (w_A, w_B)$

Questa è ovviamente un'osservazione facile, ma il punto è che potrebbe indicare che la questione dello spazio potrebbe essere complicata. Questo perché quasi tutti i limiti inferiori dello spazio nella confutazione che conosciamo passano attraverso limiti inferiori della larghezza. (Cioè, i limiti inferiori dello spazio sono stati derivati in modo indipendente, ma con il senno di poi seguono tutti come corollario dal bellissimo documento "Una caratterizzazione combinatoria della larghezza di risoluzione" di Atserias e Dalmau.) Ma se esiste un teorema di somma diretta per la clausola di risoluzione spazio, non seguirà da limiti inferiori di larghezza ma deve essere discusso direttamente, che almeno finora è sembrato molto più difficile. Ma ovviamente potrebbero esserci delle facili argomentazioni che mi mancano.

— Jakob Nordstrom
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Benvenuto Jakob!

— Arnab

I commenti sono purtroppo limitati alle persone con una reputazione di almeno 50 persone: questa è una stranezza del software e si riferisce alla prevenzione dello spam. Sono sicuro che supererai rapidamente questa soglia.

— Suresh Venkat,

Ciao Jakob, è bello vederti qui. (ps: penso che tu abbia superato la soglia.)

— Kaveh,

Ciao Jakob, mi chiedo se questo tipo di affermazione abbia delle conseguenze sui compromessi. Come tecnica con limite inferiore che non sarebbe uno strumento molto potente: la lunghezza della formula viene quadrata mentre lo spazio aumenta in modo lineare. Comunque questa proprietà potrebbe portare a una formula con larghezza ridotta e spazio ampio (notare che anche la larghezza aumenta se viene eseguito un numero non costante di ripetizioni).

— MassimoLauria,