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Nel nostro recente lavoro, risolviamo un problema computazionale sorto in un contesto combinatorio, supponendo che , dove$\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}$ è la versione E X P di$\mathsf{\oplus{}EXP}$$\mathsf{EXP}$ . L'unico articolo su$\mathsf{\oplus{}P}$ che abbiamo trovato è stato il documento Beigel-Buhrman-Fortnow1998che è citato nellozoo di complessità. Comprendiamo che possiamo prendere le versioni di parità di N E X P - problemi completi (vediquesta domanda), ma forse molti di loro in realtà non sono completi in$\mathsf{\oplus{}EXP}$$\mathsf{NEXP}$ . $\mathsf{\oplus{}EXP}$

DOMANDA: Ci sono ragioni di complessità per credere che ? Ci sono problemi combinatori naturali che sono completi in$\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}$ ? Ci sono alcuni riferimenti che potremmo perdere? $\mathsf{\oplus{}EXP}$

In termini di ragioni di complessità (anziché problemi complete): Il Hartmanis-Immerman-Sewelson Teorema dovrebbe funzionare anche in questo contesto, e cioè: sse esiste un insieme polinomialmente sparso in ⊕ P ∖ P . Dato quanto distanti pensiamo che P e ⊕ P siano - ad esempio Toda ha mostrato che P H ⊆ B P P ⊕ $\mathsf{EXP} \neq \oplus \mathsf{EXP}$$\oplus \mathsf{P} \backslash \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\oplus \mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BPP}^{\oplus \mathsf{P}}$ - sarebbe abbastanza sorprendente se non ci fossero insiemi sparsi nella loro differenza.

Più direttamente, se non ci fossero insiemi sparsi nella loro differenza, direbbe che per ogni verificatore , se il numero di stringhe di lunghezza n con un numero dispari di testimoni è limitato da n O ( 1 ) , allora il problema [ di dire se v'è un numero dispari di testimoni] deve essere in P . Questo sembra un fatto piuttosto sorprendente e improbabile.$\mathsf{NP}$$n$$n^{O(1)}$$\mathsf{P}$