Parità e

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Parity e sono come gemelli inseparabili. O almeno così è sembrato negli ultimi 30 anni. Alla luce del risultato di Ryan, ci sarà un rinnovato interesse per le piccole classi. $AC^0$

Furst Saxe Sipser to Yao to Hastad sono tutte parità e restrizioni casuali. Razborov / Smolensky è un polinomio approssimativo con parità (ok, mod gates). Aspnes e altri usano un grado debole di parità. Inoltre, Allender Hertrampf e Beigel Tarui stanno usando Toda per le piccole classi. E Razborov / Beame con alberi decisionali. Tutti questi rientrano nel paniere della parità.

1) Quali sono altri problemi naturali (a parte la parità) che possono essere mostrati direttamente in ? $AC^0$

2) Qualcuno sa di un approccio drasticamente diverso al limite inferiore su AC ^ 0 che è stato provato?

— V Vinay
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Risultato di Benjamin Rossman su ribasso per k-clique da STOC 2008. $AC^0$

Riferimenti:

Paul Beame, " A Switching Lemma Primer ", Rapporto tecnico 1994.
Benjamin Rossman, " Sulla complessità a profondità costante di k-Clique ", STOC 2008.

— Kaveh
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Rossman non fa parte del primer di Beame che conteneva anche una cricca? Gli argomenti sono più intricati, ovviamente.

— V Vinay,

@V Vinay: puoi dare un link all'articolo di Paul Beame?

— Kaveh,

4

Il risultato di Rossman mostra che

-clique non può essere calcolato da circuiti a profondità costante di dimensione

. Si noti che la costante nell'esponente non dipende dalla profondità del circuito, che è dove migliora il limite inferiore di

Beame .

k

$k$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

n^{Ω (k / d^{2})}

$n^{\Omega(k/d^2)}$

— Srikanth,

@Srikanth, pensavo che V Vinay stesse dicendo che Beame ha un risultato più recente ma non sono riuscito a trovarne nessuno sulla sua pagina. Grazie per il chiarimento.

— Kaveh,

1

Srikanth ha ragione sui limiti. Kaveh, non un nuovo documento; Ho usato "subsumed" nel senso che avevo elencato Beame nella mia domanda ed ero quindi consapevole del limite inferiore della cricca.

— V Vinay,

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Esiste l'approccio "top-down" di Håstad, Jukna e Pudlák, come fatto nel loro documento Limiti inferiori top-down per i circuiti di profondità tre . Purtroppo finora non siamo stati in grado di estendere l'approccio a profondità più elevate.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Sì. Pensavo avessi un articolo influenzato da questo approccio?

— V Vinay,

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$AC^{0}$

2) Kriegel e Waack hanno proposto un approccio topologico, che funziona ancora solo per i circuiti di profondità tre .

— Alessandro Cosentino
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2

La maggioranza è davvero la stessa cosa. Avrei dovuto menzionarlo però. Inoltre, a metà degli anni '80 c'era un articolo di Boppana sulla maggioranza.

— V Vinay,

8

Gli altri due metodi "classici" sono il metodo del collo di bottiglia di Haken e il metodo di fusione di Karchmer (così chiamato da Avi Wigderson), entrambi molto più facili da applicare nell'ambientazione monotona.

— Yuval Filmus
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