Quanto può costare distruggere tutti i percorsi lunghi in un DAG?

Consideriamo DAG (grafo aciclico diretto) con un nodo sorgente ed un nodo di destinazione ; sono consentiti bordi paralleli che uniscono la stessa coppia di vertici. A - taglio è un insieme di archi la cui rimozione distrugge tutti - percorsi più lunghi di ; possono sopravvivere percorsi - più brevi percorsi "interni" lunghi (quelli non tra e )!s s t s $s$t $t$$k$s t $s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$

Domanda: è sufficiente rimuovere al massimo una porzione di bordi da un DAG per distruggere tutti percorsi - più lunghi di ? 1 / k s t $1/k$$s$$t$$k$

Cioè, se indica il numero totale di bordi in , allora ogni DAG ha un taglio con al massimo circa i bordi ? Due esempi:e ( G ) G G k e ( G ) /$e(G)$$G$$G$$k$$e(G)/k$

1. Se tutti percorsi - hanno lunghezza , esiste un taglio con \ leq e (G) / k bordi. Questo vale perché allora ci devono essere k disgiunti k -cuts: basta sovrapporre i nodi di G in base alla loro distanza dal nodo di origine s . s t > k k ≤ e ( G ) / k $s$$t$$> k$$k$$\leq e(G)/k$$k$k G $k$$G$$s$
2. Se $G=T_n$ è un torneo transitivo (un DAG completo), esiste anche un taglio $k$ con $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$ bordi: correggi un ordine topologico di nodi, dividere i nodi in $k$ intervalli consecutivi di lunghezza $n/k$ e rimuovere tutti i bordi che uniscono i nodi dello stesso intervallo; questo distruggerà tutti i percorsi S$s$ - $t$ più lunghi di $k$ .

Nota 1: Un ingenuo tentativo di dare una risposta positiva (che ho anche provato come primo) sarebbe quello di provare a dimostrare che ogni DAG deve avere circa disgiunti -cuts. Sfortunatamente, l'esempio 2 mostra che questo tentativo può fallire gravemente: tramite un bel argomento, David Eppstein ha dimostrato che, per circa , il grafico non può avere più di quattro -cut disgiunti ! $k$ $k$$k$$\sqrt{n}$$T_n$ $k$

Nota 2: E 'importante che un -cut ha solo bisogno di distruggere tutte le lunghe - percorsi e non necessariamente tutti i percorsi lunghi. Vale a dire, esistono ¹ DAG in cui ogni -cut "puro" (evitando i bordi incidenti a o ) deve contenere quasi tutti i bordi. Quindi, la mia domanda in realtà è: la possibilità di rimuovere anche gli spigoli con o riduce sostanzialmente le dimensioni di un taglio ? Molto probabilmente, la risposta è negativa, ma non ho ancora trovato un controesempio. k s t k s t s t $k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

Motivazione: la mia domanda è motivata dimostrando limiti inferiori per le reti di commutazione e raddrizzamento monotone. Tale rete è solo un DAG, alcuni dei cui bordi sono etichettati dai test "è ?" (non ci sono test ). La dimensione di una rete è il numero di bordi etichettati. Un vettore di input è accettato, se esiste un percorso - tutti i cui test sono coerenti con questo vettore. Markov ha dimostrato che, se una funzione booleana monotona non ha minterm più brevi di e nessun maxterm più brevi di , allora la dimensione x i = 1 x i = 0 s t f l w l ⋅ w k ⋅ w $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$$f$$l$$w$$l\cdot w$è necessario. Una risposta positiva alla mia domanda implicherebbe che sono necessarie reti di dimensioni attorno a , se almeno le variabili devono essere impostate su per distruggere tutti i minterm più lunghi di .$k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

¹ La costruzione è riportata in questo documento. Prendi un albero binario completo di profondità . Rimuovi tutti i bordi. Per ogni nodo interno , disegna un bordo a da ogni foglia della sottostruttura sinistra di e un bordo da a ogni foglia della sottostruttura destra di . Pertanto, ogni due foglie di sono collegate da un percorso di lunghezza nel DAG. Il DAG stesso ha nodi e bordi, ma i bordi devono essere rimossi per distruggere tutti i percorsi più lunghi di$T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$$\Omega(n\log n)$$\sqrt{n}$.

[Auto risposta; questa è una versione abbreviata, la vecchia può essere trovata qui ]

Ci siamo resi conto con Georg Schnitger che la risposta alla mia domanda è fortemente negativa : ci sono DAG (anche di grado costante), dove ogni -cut deve avere una frazione costante di tutti i bordi, non solo una frazione di circa , come in la mia domanda. (Un risultato leggermente più debole che un frazione può essere necessario può essere ottenuto usando una costruzione molto semplice menzionato nella nota precedente. Un rapido write-up è qui ) k 1 / k 1 / log $k$$1/k$$1/\log k$

Vale a dire, nel documento "Sulla riduzione della profondità e sulle griglie" , Georg ha costruito una sequenza di grafici aciclici diretti di grado massimo costante su nodi con la seguente proprietà:H n d n = m 2 $H_n$$d$$n=m2^m$

• Per ogni costante esiste una costante tale che, se qualsiasi sottoinsieme di al massimo nodi viene rimosso da , il grafico rimanente contiene un percorso di lunghezza di almeno . 0 ≤ ϵ < 1 c > 0 c n H n 2 ϵ $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

Prendi ora due nuovi nodi e e disegna un bordo da ad ogni nodo di e un bordo da ogni nodo da a . Il grafico risultante ha ancora al massimo bordi.s t s H n H n t G n 2 n + d n = O ( n $s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

Per ogni costante , esiste una costante tale che, se qualsiasi sottoinsieme di al massimo bordi viene rimosso da , il grafico rimanente contiene un percorso - con o più bordi. $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

Prova: chiama i nodi di nodi interni di . Rimuovi qualsiasi sottoinsieme di al massimo bordi da , dove . Successivamente, rimuovere un nodo interno se si è verificato un incidente su un bordo rimosso. Si noti che al massimo vengono rimossi i nodi interni . Nessuno dei bordi incidenti ai nodi sopravvissuti è stato rimosso. In particolare, ciascun nodo interno sopravvissuto è ancora collegato a entrambi i nodi e . Con la proprietà precedente di , deve rimanere un percorso di lunghezza$H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$$H_n$$2^{\epsilon m}$costituito interamente da nodi interni sopravvissuti. Poiché gli endpoint di ciascuno di questi percorsi sono sopravvissuti, ognuno di essi può essere esteso a un percorso - in . QED$s$$t$$G_n$

Una conseguenza è triste: non esiste alcun analogo del lemma di Markov per funzioni con molti minterm corti , anche se l'insieme di minterm lunghi ha una struttura "complicata": nessun limite inferiore superlineare sulla dimensione della rete può quindi essere provato usando questo argomento "lunghezza volte larghezza".

PS Questo argomento "lunghezza per larghezza" (quando tutti percorsi - sono abbastanza lunghi) è stato precedentemente utilizzato da Moore e Shannon (1956). L'unica differenza è che non consentono rettifiche (bordi senza etichetta). Quindi, questo è, in effetti, un "argomento di Moore-Shannon-Markov".$s$$t$