NP vs co-NP e logica del secondo ordine

Supponiamo che NP = co-NP e polinomio limiti la lunghezza della prova di insoddisfazione per un'istanza 3-CNF . Quindi ci sono risultati su quale forma può assumere qualsiasi prova di insoddisfazione per of length ? Vale a dire, in generale, una tale prova dovrebbe, ad esempio, utilizzare il pieno potere della logica del secondo ordine su strutture infinite (sono consapevole che la proposizione per dimostrare - che una formula insoddisfacente può essere espressa nella logica del secondo ordine su strutture finite ma passaggi intermedi nella dimostrazione da raggiungere potrebbero richiedere un ragionamento su strutture infinite).$p(x)$$x$≤ p ( x ) $x$$\leq p(x)$

Dal momento che non esiste un sistema di inferenza efficace, completo e solido per la logica del secondo ordine, sarebbe possibile utilizzare un tale risultato per dimostrare NP co-NP?$\neq$

Se esiste un pps ottimale (pps = sistema di prova proposizionale , un pps ottimale è un pps che può simulare p qualsiasi altro sistema di prova), allora il pps EF (Extended Frege) rafforzato con assiomi proposizionali che affermano la solidità del sistema di prova proposizionale ottimale sarà ottimale. Più in generale EF + Soundness di pps P può simulare p per qualsiasi P. Quindi EF ha un tipo di generalità che non è necessario modificare la logica o la struttura pps sottostante, ma basta aggiungere assiomi proposizionali per ottenere qualsiasi pps forti arbitrari.

$NP = coNP$

$\pi$$\varphi$$\varphi$

In sintesi, non è necessario uscire dalla logica proposizionale.

$NP=coNP$$NP$$coNP$