Documenti per accreditare il partizionamento spettrale dei grafici

Se è un grafico d- regolare non orientato e S è un sottoinsieme dei vertici della cardinalità ≤ | V | / 2 , chiama l' espansione del bordo di S la quantità$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Dove è il numero di archi con un estremo in A e un punto finale in B . Quindi il problema di Edge Expansion è trovare un set S con | S | ≤ | V | / 2 che minimizza ϕ ( S ) . Chiama ϕ ( G ) l'espansione di un set ottimale.$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

L' algoritmo di partizionamento spettrale per il problema di espansione dei bordi funziona trovando un autovettore del secondo autovalore più grande di A , la matrice di adiacenza di G , e quindi considerando tutti i `` set di soglie '' S della forma { v : x ( v ) ≤ t } su tutte le soglie t . Se lasciamo che λ 2 sia il secondo autovalore più grande della matrice $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, quindi l'analisidell'algoritmo dipartizionamento spettrale mostra che la migliore soglia impostataSSPtrovata dall'algoritmo soddisfa$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Ciò che segue dalle disuguaglianze di Cheeger

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

e

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

Qual è il primo documento a presentare una simile richiesta? Quali documenti devono essere accreditati per le idee? Ecco cosa ho:

• N. Alon e VD Milman. , disuguaglianze isoperimetriche per grafici e superconcentratori, Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  Dimostrare un risultato nello spirito della "semplice" disuguaglianza di Cheeger , ma per l'espansione del vertice anziché l'espansione del bordo. Riconosci che la relazione tra espansione del bordo ed autovalori è la versione discreta di un problema studiato da Cheeger in $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger. Un limite inferiore per il più piccolo autovalore del Laplaciano. Problemi in analisi, 1970.

• N. Alon. Autovalori ed espansori. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986.

  Fornisce un risultato nello spirito della difficile disuguaglianza di Cheeger ma per l'espansione del vertice anziché l'espansione del bordo. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. Sinclair, M. Jerrum. Conteggio approssimativo, generazione uniforme e rapida miscelazione delle catene di Markov. Informazione e calcolo 82: 93-133, 1989 (Conference version 1987)

  Dimostrare le disuguaglianze di Cheeger come indicato sopra. (Il loro studio studia _conduttanza_ delle catene di Markov reversibili nel tempo, il che equivale a _espandere l'espansione_ in grafici regolari.) Accreditano il lavoro di Alon e Milman e di Alon per le tecniche. Accreditano anche Aldous per un limite correlato tra tempo di miscelazione ed espansione dei bordi nei grafici regolari.

• M Mihail. Conduttanza e convergenza delle catene di Markov: un trattamento combinatorio di espansori. FOCS 1989, pagine 526-531

  Mentre il punto principale del documento è che le sue tecniche si applicano alle catene di Markov non reversibili nel tempo, quando viene applicato a grafici non indirizzati regolari ha un vantaggio rispetto al lavoro precedente: mostra che se si esegue l'algoritmo di partizione spettrale con un arbitrario vettore, si ottiene ancora la disuguaglianza doveλ′è il quoziente di Rayleigh del vettore. Gli argomenti di Alon, Milman, Sinclair e Jerrum richiedono un vero autovettore. Ciò è rilevante per gli algoritmi di partizionamento spettrale rapido che utilizzano autovettori approssimativi. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

Ci sono altri documenti che dovrebbero essere accreditati in termini di tecniche di prova?

Quando viene riconosciuto per primo il significato algoritmico dei risultati di cui sopra, come algoritmi di partizionamento dei grafici? I lavori di cui sopra non hanno una discussione di questo tipo.

$\lambda_2$$\lambda_2$

È interessante notare che c'è un'osservazione alla fine del documento di Fiedler, che sottolinea un rapporto tecnico indipendente di Anderson e Morley intitolato Eigenvalues ​​of the Laplacian su un grafico del 1971, che apparentemente aveva idee simili. Tuttavia, l'articolo di Anderson e Morley con lo stesso titolo è apparso in Linear e Multilinear Algebra solo nel 1985.

Alcuni riferimenti aggiuntivi che ricordo di quell'epoca:

1) Diaconis e Stroock, limiti geometrici per gli autovalori delle catene di Markov, The Annals of Applied Probability, 1991; ma ricordo di aver messo le mani su una prestampa nel 1990. Questo documento a sua volta fa riferimento

2) Dodziuk, equazioni alle differenze, disuguaglianza isoperimetrica e transitorietà di alcune passeggiate casuali, Transactions of the American Mathematical Society, 1984.

Inoltre, un importante documento "compagno algoritmico" per Sinclair e Jerrum a quel tempo era

3) Dyer Frieze Kannan, un algoritmo temporale polinomiale casuale per l'approssimazione del volume dei corpi convessi, STOC 89. Naturalmente, i risultati qui sono stati costruiti sopra SJ.