Verifica dell'equivalenza di due politopi

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Considera un vettore di variabili e un insieme di vincoli lineari specificati da . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

Inoltre, considera due politopi

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

dove ' sono mappature affine . Vale a dire, hanno la forma . (Notiamo che e sono politopi perché sono "mappature affini" del politopo .) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

La domanda è: come decidere se $P_1$ e $P_2$ sono uguali come set? Qual è la complessità?

La motivazione del problema proviene dalle reti di sensori, ma sembra essere un bel problema di geometria (probabilmente di base?). Si può risolvere questo in tempo reale, possibilmente enumerando tutti i vertici di $P_1$ e $P_2$ , ma esiste un approccio migliore?

— maomao
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Cosa intendi con due polipropilene equivalenti? Mi vengono subito in mente tre interpretazioni: uguali in set, affinamente equivalenti e combinatori equivalenti. Le due risposte esistenti assumono interpretazioni diverse.

— Tsuyoshi Ito,

Intendo uguale a set.

— Maomao,

Modifica la domanda per includere tale chiarimento. Non lasciarlo nei commenti. Le domande dovrebbero essere autosufficienti: le persone non dovrebbero leggere i commenti per capire cosa stai chiedendo. Grazie.

— DW

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Non posso dire con certezza se considererai il seguente approccio migliore, ma da un punto di vista teorico della complessità esiste una soluzione più efficiente. L'idea è di riformulare la tua domanda nella teoria dei razionali del primo ordine con aggiunta e ordine. Bisogna che è incluso nel se e solo se è valido. È chiaro come derivare l'equivalenza di e allo stesso modo. Ora $P_1$ $P_2$

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$ ha un prefisso prefisso quantificatore-alternanza ed è di conseguenza decidibile in , il secondo livello della gerarchia del tempo polinomiale ( Sontag, 1985 ). Sono abbastanza fiducioso che sia possibile dimostrare anche un limite inferiore corrispondente, ricordo di aver letto da qualche parte che l'inclusione tra due politopi è -hard.

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Se stai cercando il supporto degli strumenti per risolvere tali problemi in pratica, i moderni solutori SMT come z3 supportano pienamente questa teoria.

— Christoph Haase
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Il fatto che il politopo sottostante sia lo stesso per e non ha importanza, a meno che non conosciamo qualcosa di specifico su e . Questo perché un polytope generale è una proiezione affine di un simplex (vedi, ad esempio, "Lectures for Polytopes" di Ziegler, Teorema 2.15). Pertanto, se e codificano un simplex, la tua domanda equivale a chiedere quanto sia duro l'isomorfismo del politopo generale. Una rapida ricerca rivela il seguente articolo di Kaibel e Schwartz sulla complessità dei problemi di isomorfismo del politope , in cui dimostrano che è duro l'isomorfismo grafico. $Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— Denis Pankratov
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Non penso che questo argomento funzioni: ignora la dimensione del simplex data dal teorema citato. (x fa parte dell'input, quindi qualsiasi riduzione deve assicurarsi che sia limitata polinomialmente)

— Colin McQuillan,

Buon punto! Sembra che il mio reclamo debba ancora passare in rassegna, ma dobbiamo andare dentro alla prova nel documento che ho citato. Iniziando con un grafico, costruiscono un politopo, in modo tale che due grafici siano isomorfi se e solo se i corrispondenti polipropilene sono isomorfi. I loro politopi hanno un numero polinomiale di vertici e le loro descrizioni dei vertici possono essere calcolate in tempo polinomiale. Quindi, possiamo prendere (A, b) come un simplex nella dimensione che è il numero di vertici e f essere la proiezione affine che dà il politopo che può essere ottenuto dalla descrizione del vertice.

— Denis Pankratov,