Reazioni logiche per un sistema imprevedibile in una meta-teoria predicativa

Le relazioni logiche per linguaggi imprevedibili come il Sistema F sembrano basarsi in modo critico sull'impredicatività della logica ambientale. In particolare, l'interpretazione per il tipo forall sarà definita in termini di tutte le relazioni tipizzate. In un sistema impredicativo (come CiC / Coq) va bene, ma sembra impossibile in un sistema predicativo (come Agda).

Come si può fare? Ad esempio, come dimostreresti la normalizzazione per System F in Agda? Devi costruire il tuo universo impredicativo?

— Max Nuovo
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In generale, ciò che di solito chiamiamo argomento delle relazioni logiche non è realmente legato all'impredicatività: l'idea principale è semplicemente interpretare i termini in qualche algebra astratta e rappresentare i tipi come una relazione ( -ary) . $\cal A$ $n$ $R \subseteq \cal A^n$

Funziona perfettamente per tutti i tipi di teorie dei tipi, comprese le teorie tipicamente dipendenti, vedi ad esempio Shürmann e Sarnat: relazioni logiche strutturali in cui una logica predicativa (quella di Twelf) viene utilizzata per dimostrare una certa proprietà (decidibilità dell'uguaglianza) per un calcolo predicativo (semplicemente digitato -calculus) usando le relazioni logiche. $\lambda$

Come avrete sospettato, tuttavia, è non è possibile dimostrare la normalizzazione del sistema F a Agda (se Agda non è segretamente più forte del previsto, vale a dire circa la forza della teoria dei tipi di Martin-Löf con un gruppo di universi). Questo perché la normalizzazione del sistema F implica la coerenza dell'aritmetica del 2 ° ordine ( ) che è più forte della teoria dei tipi ML con un numero qualsiasi di universi (predicativi). $\mathrm{PA}_2$

È istruttivo capire esattamente dove le prove vanno male ad Agda, però. Si verifica effettivamente quando si tenta di definire l'interpretazione delle relazioni logiche della quantificazione impredicativa. L'interpretazione dei connettivi non impredicativi però (inclusa la quantificazione "dipendente") è kosher in una teoria come Agda.

— cody
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Wow davvero? Non puoi provare che il System F si normalizza ad Agda? Hai una citazione per questo?

— Max Nuovo

@MaxNew: In realtà è abbastanza difficile trovare una citazione per. Il più vicino che riesco a trovare è The Strength of Some Martin-Löf Type Theories che risolve definitivamente la questione di una teoria predicativa con un singolo universo e un qualche tipo di induzione. Ma Agda ha la terrificante ricorsione ad induzione che la rende enormemente più potente.

— cody

Vorrei aggiungere, tuttavia, che la ricorsione dell'induzione è nota per essere più debole della quantificazione impredicativa in alcuni casi, come è ben spiegato qui: fplab.bitbucket.org/posts/2012-12-06-induction-recursion.html

— cody

@cody Sfortunatamente, il collegamento non funziona più. Riesci a trovare di nuovo questo contenuto? Sei a conoscenza di nuove pubblicazioni nel settore della formalizzazione dell'impredicatività?

— Łukasz Lew,