C'è un problema naturale nel tempo quasi polinomiale, ma non nel tempo polinomiale?

László Babai ha recentemente dimostrato che il problema dell'isomorfismo dei grafi è in fase quasipolinomiale . Vedi anche il suo discorso all'Università di Chicago, nota dai discorsi di Jeremy Kun GLL post 1 , GLL post 2 , GLL post 3 .

Secondo il teorema di Ladner, se $P \neq NP$ , allora $NPI$ non è vuoto, ovvero $NP$ contiene problemi che non sono né in $P$ né in $NP$ completi. Tuttavia, il linguaggio costruito da Ladner è artificiale e non è un problema naturale. Nessun problema naturale è noto per essere in $NPI$ anche condizionalmente sotto $P \neq NP$ . Ma alcuni problemi sono ritenuti buoni candidati per $NPI$ , come numeri interi di factoring e IG.

Potremmo pensare che con il risultato di Babai potrebbe esserci un algoritmo temporale polinomiale per IG. Molti esperti ritengono che $NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$ .

Esistono alcuni problemi per i quali conosciamo algoritmi di tempo quasi polinomiali, ma non è noto alcun algoritmo di tempo polinomiale. Tali problemi sorgono negli algoritmi di approssimazione; un famoso esempio è il problema dell'albero Steiner diretto, per il quale esiste un algoritmo di approssimazione temporale quasi polinomiale che raggiunge un rapporto di approssimazione di $O(\log^3 n)$ ($n$ è il numero di vertici). Tuttavia, mostrare l'esistenza di un tale algoritmo temporale polinomiale è un problema aperto.

La mia domanda:

Conosciamo problemi naturali che si trovano in $QP$ ma non in$P$ ?

Di fatto, ci sono stati un sacco di lavori recenti per dimostrare che il tempo di esecuzione quasi polinomiale è inferiore ai problemi computazionali, principalmente basato sull'ipotesi del tempo esponenziale. Ecco alcuni risultati per problemi che ritengo abbastanza naturali (tutti i risultati seguenti sono subordinati all'ETH):

• Aaronson, Impagliazzo e Moshkovitz [1] mostrano un tempo quasi polinomiale inferiore per problemi di soddisfazione dei vincoli densi (CSP). Si noti che il modo in cui CSP è definito in questo documento consente al dominio di essere polinomialmente ampio, poiché è noto che il caso in cui il dominio è piccolo abbia un PTAS.

• Braverman, Ko e Weinstein [2] rivelarsi un tempo quasi-polinomiale limite inferiore per la ricerca di -best ε -approximate equilibrio di Nash, che corrisponde a Lipton et al. Dell'algoritmo [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein e Weinstein [4] mostrano un tempo quasi polinomiale limite inferiore per il -subgraph più denso approssimativo con perfetta completezza (cioè dato un grafico che contiene un k -clique, trova un sottografo della dimensione k che è ( 1 $k$$k$$k$ -denso per qualche piccola costante ϵ ). Ancora una volta, esiste un algoritmo di tempo quasi polinomiale per il problema (Feige e Seltser [5]).$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Riferimenti

1. AM con più Merlin. In Computational Complexity (CCC), 29ª Conferenza IEEE del 2014, pagine 44–55, giugno 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko e Omri Weinstein. Approssimazione del miglior equilibrio di nash in -time rompe l'ipotesi del tempo esponenziale. In Atti del ventiseiesimo simposio annuale ACM-SIAM sugli algoritmi discreti, SODA '15, pagine 970-982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis e Aranyak Mehta. Giocare a giochi di grandi dimensioni usando strategie semplici. In Atti della 4a Conferenza ACM sul commercio elettronico, EC '03, pagine 36–41, New York, NY, USA, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein e Omri Weinstein. Durezza ETH per Densest-$k$ -Subgraph con perfetta completezza. Colloquio elettronico sulla complessità computazionale (ECCC), 22:74, 2015.

5. U. Feige e M. Seltser. Sui problemi -subgraph più densi. Rapporto tecnico, 1997.$k$

Megiddo e Vishkin dimostrato che minima set dominante nei tornei è in . Hanno dimostrato che il set dominante nei tornei ha l'algoritmo P-time se SAT ha l'algoritmo del tempo subsponenziale. Pertanto, il problema del set dominante nel torneo non può essere in P a meno che l'ETH sia falso.$QP$$P$

È molto interessante notare che il tempo di ipotesi esponenziale implica simultaneamente quell'insieme torneo dominante non può avere algoritmi tempo polinomiale e non può essere -complete$NP$ . In altre parole, ETH implica che il set dominante del torneo è in $NP$ -intermediate.

Woeginger suggerisce un problema candidato risolvibile in un tempo quasi polinomiale e probabilmente non ha algoritmi di tempo polinomiale: dati numeri interi, puoi selezionarne il registro n che aggiungono fino a 0 ?$n$$\log n$$0$

È improbabile che la dimensione di calcolo del VC sia in tempo polinomiale, ma ha un algoritmo di tempo quasipolinomiale.

Inoltre, sembra difficile rilevare una cricca piantata di dimensione in un grafico casuale, ma si può trovare in tempo quasipolinomiale; sebbene la natura di questo problema di promessa sia in qualche modo diversa dalle altre citate.$O(\log n)$

Se l'ipotesi del tempo esponenziale è corretta (o versioni anche più deboli), allora non è possibile risolvere 3SAT per istanze con numero poliglog di variabili in tempo polinomiale. Naturalmente, il tempo quasi polinomiale può risolvere prontamente tali casi.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Recentemente è stato dimostrato che Risolvere i giochi di parità è in QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Tuttavia, il recente documento di cui sopra ha fatto un salto significativo al QP. Non è ancora noto se questi giochi siano in P.

Negli algoritmi classici, decadimento della correlazione e zeri complessi delle funzioni di partizione dei sistemi quantistici a molti corpi di Aram Harrow, Saeed Mehraban e Mehdi Soleimanifar

un algoritmo classico quasi polinomiale che stima la funzione di partizione dei sistemi quantici a molti corpi a temperature superiori al punto di transizione della fase termica

è presentato.

Qui non si può dire molto della parte "ma non in tempo polinomiale" della domanda. Potrebbe anche essere probabile che un algoritmo temporale polinomiale venga trovato in seguito, data la storia dei lavori precedenti, vedi sotto.

In che modo "stimare la funzione di partizione" è correlato agli algoritmi di approssimazione? Opera precedente (p. 11):

C'è un recente approccio concettualmente diverso alla stima della funzione di partizione, che è la base di questo lavoro. Questo approccio vede la funzione di partizione come un polinomio ad alta dimensione e utilizza l'espansione troncata di Taylor per estendere la soluzione in un punto computazionalmente semplice a un regime di parametri non banale. Dalla sua introduzione [Bar16a], questo metodo è stato utilizzato per ottenere algoritmi deterministici per vari problemi interessanti come i modelli Ising ferromagnetici e antiferromagnetici [LSS19b, PR18] su grafici limitati.

include

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair e Piyush Srivastava. La funzione di partizione Ising: zeri e approssimazione deterministica. Journal of Statistical Physics, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

che menziona quanto segue nella presente sezione sul lavoro correlato:

In una linea di lavoro parallela, Barvinok ha iniziato lo studio dell'approssimazione di Taylor del logaritmo della funzione di partizione, che ha portato a algoritmi di approssimazione del tempo quasipolinomiale per una varietà di problemi di conteggio [6, 7, 9, 10]. Più recentemente, Patel e Regts [41] hanno dimostrato che per diversi modelli che possono essere scritti come somme di subgraph indotte, si può effettivamente ottenere un FPTAS da questo approccio.

[41] V. Patel e G. Regts. Algoritmi deterministici di approssimazione dei tempi polinomiali per funzioni di partizione e polinomi grafici. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, dicembre 2017. arXiv: 1607.01167

In conclusione, "stimare la funzione di partizione" è strettamente correlato agli algoritmi di approssimazione e ci sono stati algoritmi di approssimazione del tempo quasipolinomiale per una varietà di problemi di conteggio e per alcuni di questi FPTAS sono stati ottenuti. Quindi, nel complesso, questa classe di problemi relativi alla funzione di partizione sembra produrre algoritmi di approssimazione del tempo quasipolinomiale, ma spesso miglioramenti successivi raggiungono il tempo polinomiale.