Coefficienti di Fourier Funzioni booleane descritte dai circuiti di profondità limitata con porte AND OR e XOR

Sia $f$ una funzione booleana e pensiamo a f come una funzione da $\{-1,1\}^n$ a $\{ -1,1 \}$ . In questo linguaggio l'espansione di Fourier di f è semplicemente l'espansione di f in termini di monomi quadrati liberi. (Questi $2^n$ monomi formano una base allo spazio delle funzioni reali su $\{-1,1\}^n$ . La somma dei quadrati dei coefficienti è semplicemente $1$ quindi $f$ porta a una distribuzione di probabilità su monomi quadrati liberi. Chiamiamo questa distribuzione la distribuzione F.

Se f può essere descritto da un circuito di profondità limitata di dimensioni polinomiali, allora sappiamo da un teorema di Linial, Mansour e Nisan che la distribuzione F è concentrata su monomi di $\text{polylog } n$ dimensione fino a un peso quasi esponenzialmente piccolo. Questo deriva dal lemma di commutazione di Hastad. (Una prova diretta sarebbe molto desiderabile.)

Cosa succede quando aggiungiamo porte mod 2? Un esempio da considerare è la funzione $IP_{2n}$ su $2n$ variabili che è descritta come il prodotto interno mod 2 delle prime n variabili e delle ultime n variabili. Qui la distribuzione F è uniforme.

Domanda : La distribuzione F di una funzione booleana descritta da una dimensione polinomiale di profondità limitata E, O, MOD è concentrata (fino a un errore superpolinomialmente piccolo) su "livelli"? $_2$ $o(n)$

Osservazioni :

Un possibile percorso di un controesempio sarebbe quello di "colla in qualche modo" diversi IP su insiemi disgiunti di variabili, ma non vedo come farlo. Forse si dovrebbe indebolire la domanda e consentire l'assegnazione di alcuni pesi alle variabili, ma non vedo neanche un modo chiaro per farlo. (Quindi fare riferimento a queste due questioni è anche parte di ciò che sto chiedendo.) $_2k$
Vorrei ipotizzare che una risposta positiva alla domanda, (o ad una variazione di successo) si applica anche quando si consente mod cancelli. (Quindi porre la domanda è stata motivata dal recente impressionante risultato ACC di Ryan Williams.) $_k$
Per MAJORITY la distribuzione F è grande (1 / poli) per ogni "livello".

Come mostrato da Luca, la risposta alla domanda che ho posto è "no". La domanda che rimane è quella di proporre modi per trovare proprietà delle distribuzioni F di funzioni booleane che possono essere descritte da AND OR e porte mod 2 non condivise da MAJORITY.

Un tentativo di salvare la domanda parlando delle funzioni MONOTONE:

$_2$ $o(n)$

$o(n)$ $\text{polylog} (n)$

— Gil Kalai
fonte

Sembra una congettura molto forte, sarebbe molto interessante se ci fossero prove che potrebbe essere vero. L'intuizione è che per circuiti a profondità costante con gate mod o puoi avere funzioni che sono molto insensibili al rumore come i polinomi di basso grado, o perfettamente casuali come la parità, ma è difficile creare qualcosa nel mezzo come la maggioranza?

— Boaz Barak,

Caro Boaz, (mi aspetterei un controesempio alla forte affermazione suggerita.) Ri: intuizione, sostituisci "perfettamente casuale" con "Bernouli-like". Come ricordo, quando consideri un singolo gate k mod allora la F-Distribution è come una certa distribuzione di Bernouli (vale a dire il peso per | S | è come p ^ | S | (1-p) ^ {n- | S | } per alcuni p, non necessariamente p = 1 / 2. Quindi sembra che piccoli circuiti a profondità limitata con gate mod manipolano nelle loro distribuzioni F tali distribuzioni di Bernouli, quindi forse la proprietà di "la maggior parte dei pesi su pochi livelli" (O qualche altro proprietà delle distribuzioni di Bernouli)

— Gil Kalai,

Gil, qualcosa del genere sarebbe un controesempio?

$m$ $n=m+\log m$ $n$ $(x,i)$ $x$ $(x_1,\ldots ,x_m)$ $i$ $1,\ldots,m$

$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$ $1/m$ $x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$ $1/m^2$

f () può essere realizzato in profondità 3: mettere tutti gli XOR in un livello, quindi eseguire la "selezione" in due livelli di AND, OR e NOT (senza contare i NOT come aggiunta alla profondità, come al solito).

— Luca Trevisan
fonte

si, Luca, sembra che tu abbia ragione.

— Gil Kalai,