Trovare la soluzione più sparsa a un sistema di equazioni lineari

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Quanto è difficile trovare la soluzione più sparsa a un sistema di equazioni lineari?

Più formalmente, considera il seguente problema decisionale:

Istanza: un sistema di equazioni lineari con coefficienti interi e un numero $c$ .

Domanda: esiste una soluzione al sistema con almeno variabili assegnate a zero? $c$

Sto anche cercando di determinare quale sia la dipendenza da . Cioè, forse il problema è FPT con il parametro . $c$ $c$

Tutte le idee o i riferimenti sono davvero apprezzati.

— Michael Wehar
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Considera il problema $\text{MAX-LIN}(R)$ di massimizzare il numero di equazioni lineari soddisfatte su un anello $R$ , che è spesso NP-difficile, ad esempio nel caso $R=\mathbb{Z}$

Prendi un'istanza di questo problema, dove è una matrice . Sia . Costruisci un nuovo sistema lineare , dove è una matrice , ora è un vettore dimensionale e $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ è un vettore dimensionale : $kn$

doveè lamatrice di identità.

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

Si noti che questo sistema è sempre soddisfatto dal vettore . In effetti, le prime voci di possono essere arbitrarie e esiste un vettore di soluzione con quel prefisso. $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

Ora sostengo che la frazione delle equazioni di sono soddisfacenti se esiste una soluzione sparsa di che ha almeno zeri. Questo perché ogni riga soddisfatta di produce potenziali zeri quando viene esteso a $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

Pertanto, se troviamo la scarsità della soluzione più sparsa in , abbiamo anche massimizzato , dividendo la sparsità per . $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

Pertanto, credo che il tuo problema sia NP-difficile.

— Joe Bebel
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Freddo! Grazie per aver condiviso. Quindi cosa pensi che la dipendenza sia da c? Pensi che possiamo risolverlo in meno di

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$ where

n

$n$ is the input size?

— Michael Wehar

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Sure: if we assume you're given which

c

$c$ elements of

x

$x$ are zero, then you can simply remove those elements from

x

$x$ to get a lower dimensional

x^{'}

$x'$ and also remove the corresponding columns from

A

$A$ to get

A^{'}

$A'$ . Then use gaussian elimination to decide if the reduced system

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$ is feasible; if it is, then you've found a sparse solution. Then, you try all

possibile

.

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— Joe Bebel,

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@MichaelWehar Non so se questo problema sia FPT o no

— Joe Bebel,

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Il problema è NP-completo, per riduzione rispetto al seguente problema: Data una matrice con voci intere e un vettore intero con voci, esiste un vettore 0-1 con ? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

For every coordinate $x_i$ of vector $x$ ,

introduce $100(n+m)$ new equations $x_i+y_{i,k}=0$ with $k=1,\ldots,100(n+m)$ , and
introduce $100(n+m)$ new equations $x_i+z_{i,k}=1$ with $k=1,\ldots,100(n+m)$ .

Furthermore use the old equation system $Ax=b$ .

There exists a 0-1 solution to the original system $Ax=b$ , if and only if the new system has a solution in which at least $100(n+m)n$ variables are zero.

— Gamow
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This is called the Sparsest Solution Vector problem, and it is indeed NP-hard.

— R B
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This problem is hard, in various settings. As stated in the other answers to this question, the problem is NP-complete over the integers.

In signal processing, the matrix and the vectors have rational entries, and this problem is sometimes called the sparse reconstruction problem. In this setting, the problem is NP-complete (see Theorem 1).

In coding theory, the entries are from a finite field, and this problem is sometimes called the maximum-likelihood decoding problem. In this setting, the problem is NP-complete and not in subexponential time, assuming the exponential time hypothesis. Furthermore, according to a previous version of a paper on arXiv (see Lemma C.2 in version 1 of the paper), the problem is W[1]-complete.

— argentpepper
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Your reference for W[1]-completeness does not appear to have a "Lemma C.2".

@RickyDemer There is a Lemma C.2 in version 1 of the paper that he linked. However, version 2 seems to have a different title and was very recently changed.

— Michael Wehar

That lemma uses a different parameterization from the OP.

Oh I didn't realize there was an updated version, I'll take a look at it and update my answer accordingly.

— argentpepper

As I mentioned in my previous comment, that "lemma uses a different parameterization from the OP", so even if we assume the result is true (despite having been removed from version 2), the OP's question about parameterized complexity would still be open.