Una prova interattiva del numero di Dio?

Ultimamente ho appreso delle prove interattive e mi chiedevo se l'intera faccenda non fosse altro che una curiosità teorica o se avesse avuto applicazioni pratiche. Ho pensato di iniziare con un esempio che mi è venuto in mente sotto la doccia:

Recentemente è stato reso noto che "Numero di Dio" = 20. (Il numero di Dio è il numero minimo di passaggi necessari per risolvere il cubo di Rubik). Anche se questo è piuttosto interessante, sembra che ci sia una piccola svolta ... Questa non è una prova "normale" nel libro di testo, senso verificabile del tempo polinomiale. Questa prova ha chiaramente un sapore "forza bruta" - con questo intendo dire, i ragazzi del laboratorio del dottor Morley hanno provato con miliardi e miliardi di combinazioni di cubi nei massicci supercomputer di Google per trovare questo limite inferiore pulito e preciso.

Ad ogni modo, la domanda è: come possiamo essere certi che il dottor Morley Davidson e il suo team siano onesti? Bene, subito può gettare l'argomento dall'autorità fuori dalla finestra in quanto non è matematicamente rigoroso. L'alternativa ovvia è ricontrollare la prova, controllando il codice sorgente ed eseguendo di nuovo il tutto, che sembra essere un terribile spreco di risorse computazionali, per non parlare del fatto che tutti coloro che desideravano essere convinti di questo avrebbero bisogno di farlo sulla propria postazione di lavoro - una proposta molto noiosa e spiacevole per il vero scettico. Quindi questo sembra essere una specie di deilema ontologico.

Quindi quello che credo sia questa è esattamente una situazione in cui abbiamo bisogno di una prova interattiva . Il Supercomputer di Google potrebbe essere il Prover onnipotente ma ingannevole, e noi scettici, se non membri anali del pubblico, siamo i verificatori con limiti polinomiali. Se potessimo in qualche modo interrogare il nostro "Oracle" un numero polinomiale di volte ed essere convinti di questo limite inferiore, potremmo essere convinti del fatto che ha ragione, al di là di ogni ragionevole dubbio.

Quindi sembra che il problema decisionale "Il numero di Dio è <20" risiede in o può essere riformulato come segue (informalmente)$\Pi_2^p$

Per tutte le combinazioni iniziali $\alpha$ nel cubo di Rubik, esiste una soluzione che richiede <= 20 passi, $\beta$ che la risolve.

(non sono sicuro che sia corretto, ma e sono entrambi di piccole dimensioni, data una configurazione iniziale e una soluzione è facile verificare che risolva davvero il cubo)$\alpha$$\beta$

e il problema decisionale "Il numero di Dio è 20" può essere riformulato come

Il numero di Dio è <20 ed esiste una soluzione per una combinazione iniziale del cubo di Rubik che compie 20 passi.

Quindi c'è probabilmente una prova IP [n] per questo. (ancora una volta, controlla il mio funzionamento)

La mia domanda è duplice

1. Esiste un modo effettivo per farlo?
2. Quali altri esempi di usi "pratici" delle prove interattive ci sono?

... sembra che il problema decisionale "Il numero di Dio sia <20" risieda in .$\Pi_2^p$

Questo è sufficiente per avere una prova interattiva. In effetti, Lund et al. ha dimostrato che ogni linguaggio nella gerarchia polinomiale (PH) ha una dimostrazione interattiva usando il teorema di Toda ( ). Hanno ridotto al linguaggio PERMANENTE # P-completo e hanno fornito un metodo algebrico che può essere usato per dimostrare PERMANENTE in modo interattivo. (Questo è altamente impreciso; fare riferimento al documento per ulteriori informazioni.)$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

Usando le loro tecniche, Shamir ha dimostrato che IP = PSPACE .

In precedenza era stato dimostrato che tutti gli IP hanno prove a conoscenza zero , quindi:

Tutte le lingue in PSPACE hanno prove interattive a conoscenza zero.

Determinare che è il diametro (numero di Dio) del gruppo cubo di Rubik sotto la metrica di mezzo giro con il gruppo di generazione Singmaster stato un risultato meraviglioso. Sono curioso di sapere domande di follow-up, come ad esempio determinare come molti colpi di scena a metà giro che ci vuole per ottenere il cubo completamente "mista" per -Vicino alla divisa distribuzione stazionaria . $20$$G$$s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$$m$$\epsilon$$\pi$

Credo che tale miscelazione mostri un cut-off in cui per , alcune configurazioni sono molto più probabili di altre, mentre per il cubo è quasi completamente criptato alla distribuzione uniforme , e nessun grande sottoinsieme di configurazioni è sfavorevole. Potrebbe esserci una promessa nel cuore di qualsiasi missaggio che presenti un tale taglio. Questa promessa può essere sfruttata per creare un protocollo Arthur-Merlin .$n\lt m$$n\ge m$$\pi$$A\subset G$ $\mathsf{AM}$

Ad esempio, notando che e chiamando il tempo di miscelazione da verificare, penso che possiamo promettere:$\vert s \vert=18$$m$

• Se quindi per tutti tranne un numero molto piccolo, , di elementi ci sono modi molto vicini a di scrivere come parole in di lunghezza e$n\ge m$$\epsilon$$g\in G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$g$$s$$\le n$

• Se , allora c'è un numero molto più grande, , degli elementi dove può essere scritto solo al massimo come parole di lunghezza .$n \lt m$$k=\vert A\vert$$g\in G$$g$$\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$$\le n$

Qui penso a come, diciamo, , e come, diciamo .$\epsilon$$\frac{1}{10^9}\vert G\vert$$k$$\frac{1}{10}\vert G\vert$

I trucchi di hashing universali standard creano una singola prova rotonda Arthur-Merlin che il tempo di miscelazione è almeno .$n$

1. Arthur sceglie un elemento casuale , un hash casuale mappa le parole di su un insieme di dimensioni e un'immagine casuale di$g\in G$$h$$G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$y$$h$
2. Merlino dice ad Arthur una parola di lunghezza fino a che, quando applicata alla posizione iniziale del cubo, è uguale a$W$$n$$g$
3. La parola deve anche soddisfare - indicando che probabilmente ci sono molte parole di lunghezza che equivalgono a$W$$h(W)=y$≤ n g$\le n$$g$
4. Arthur e Merlin ripetono di amplificare secondo necessità

Perché, per i gruppi penso, il tempo di miscelazione è almeno il diametro (il numero di Dio), questo fornisce anche una prova di Arthur-Merlin per legare il numero di Dio di un grande gruppo.