Contraddizione tra il secondo teorema di incompletezza di Gödel e la proprietà del CIC di Church-Rosser?

Da un lato, il secondo teorema di incompletezza di Gödel afferma che qualsiasi teoria formale coerente che sia abbastanza forte da esprimere qualsiasi affermazione aritmetica di base non può dimostrare la propria coerenza. D'altra parte, la proprietà di Church-Rosser di un sistema formale (di riscrittura) ci dice che è coerente, nel senso che non tutte le equazioni sono derivabili, ad esempio K I , poiché non hanno lo stesso forma normale. $\neq$

Quindi il calcolo delle costruzioni induttive (CIC) statisticamente definisce entrambe le condizioni. È abbastanza forte da rappresentare proposizioni aritmetiche (in effetti, il solo -calculus da solo è già in grado di codificare i numeri della Chiesa e rappresentare tutte le primitive funzioni ricorsive). Inoltre, CIC ha anche la confluenza o la proprietà Church-Rosser. Ma: $\lambda\beta\eta$

il CIC non dovrebbe essere in grado di dimostrare la propria coerenza con il teorema della seconda incompletezza?

O afferma semplicemente che il CIC non può dimostrare la propria coerenza all'interno del sistema, e in qualche modo la proprietà di confluenza è un meta-teorema? O forse la proprietà di confluenza di CIC non garantisce la sua coerenza?

Gradirei molto se qualcuno potesse far luce su questi problemi!

Grazie!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
fonte

In che senso la CR implica coerenza? Considerare la relazione quando .

x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

— Martin Berger,

@MartinBerger Quindi stai dicendo che CR non implica coerenza nel CIC? Perché lo fa nel -calcolo, ad esempio K io . E mi dispiace, non capisco che punti nel considerare la relazione di cui sopra.

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

— StudentType,

Non so nulla del CIC, ma l'ovvia possibilità sarebbe che non provi la sua proprietà Church-Rosser.

— Emil Jeřábek,

Una forte normalizzazione sarebbe più vicina alla coerenza per una teoria del tipo no? CR implica che ci sono termini disuguali, ma ciò non esclude un abitante del vuoto. Una forte normalizzazione non è dimostrabile internamente a cic, quindi il teorema di Godels regge ancora

— Daniel Gratzer,

L'intuizione è che in genere è facile dimostrare che non ci sono oggetti normali cattivi all'interno del sistema. Ora, se possiamo dimostrare in modo dimostrabile che tutti i termini hanno una forma normale, abbiamo finito. L'algoritmo di normalizzazione è facile da formalizzare. La parte difficile è dimostrare che termina. Se abbiamo funzioni che crescono abbastanza velocemente all'interno del sistema, allora possiamo usarle per dimostrare un limite superiore alla fine dell'algoritmo di normalizzazione. Penso che il vecchio libro di Girard dovrebbe avere questi. Prove e tipi possono anche. (Qualsiasi libro di teoria della buona prova che discute le probabili funzioni totali di una teoria dovrebbe averlo.)

— Kaveh

Innanzitutto, stai confondendo la coerenza del CIC come teoria equazionale con la coerenza del CIC come teoria logica . Il primo significa che non tutti i termini di CIC (dello stesso tipo) sono equivalenti a . Il secondo significa che il tipo non è abitato. CR implica il primo tipo di coerenza, non il secondo. Questo, come è stato sottolineato nei commenti, è invece implicato nella (debole) normalizzazione. L'esempio prototipico di questa situazione è il puro -calculus: è equazionalmente coerente (sostiene CR) ma, se lo si considera come un sistema logico (come la chiesa di Alonzo o inteso originariamente) è incoerente (anzi, non si normalizza) . $\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

In secondo luogo, come ha sottolineato Emil, anche se CIC ha una determinata proprietà (CR o normalizzazione), è perfettamente possibile che CIC non possa di per sé dimostrare tale proprietà. In questo caso, non vedo alcuna incoerenza nel fatto che CIC sia in grado di dimostrare la propria proprietà CR, e immagino che questo sia effettivamente il caso (argomenti combinatori elementari di solito sono sufficienti per CR, e tali argomenti rientrano sicuramente nell'enorme potenza logica del CIC). Tuttavia, CIC certamente non dimostra la propria proprietà di normalizzazione, proprio a causa del secondo teorema di incompletezza.

— Damiano Mazza
fonte

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

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$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$