Complessità del circuito aritmetico monotono dei polinomi simmetrici elementari?

Il $k$ -esimo polinomio simmetrico elementare è la somma di tutti i prodotti di variabili distinte. Sono interessato alla complessità del circuito aritmetico monotono di questo polinomio. Un semplice algoritmo di programmazione dinamica (così come la figura 1 sotto) fornisce un circuito con porte . $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

Domanda: è noto un limite inferiore di $\Omega(kn)$ ?

Un circuito $(+,\times)$ è inclinato se almeno uno dei due ingressi di ciascun gate di prodotto è una variabile. Tale circuito è in realtà lo stesso della rete di commutazione e rettifica (un grafico aciclico diretto con alcuni bordi etichettati da variabili; ogni percorso della st fornisce il prodotto delle sue etichette e l'output è la somma di tutti i percorsi della st). Già 40 anni fa, Markov ha dimostrato un risultato sorprendentemente stretto: un circuito di inclinazione aritmetica monotono minimo per $S_k^n$ ha esattamente $k(n-k+1)$ gate di prodotto. Il limite superiore segue dalla Fig. 1:

Ma non ho visto alcun tentativo di dimostrare un limite così basso per i circuiti non obliqui. È solo questa la nostra "arroganza", o ci sono alcune difficoltà intrinseche osservate lungo la strada?

PS So che le porte sono necessarie per calcolare contemporaneamente tutti . Ciò deriva dal limite inferiore della dimensione dei circuiti booleani monotoni che ordinano l'ingresso 0-1; vedi pagina 158 del libro di Ingo Wegener . La rete di smistamento di AKS implica anche che le porte siano sufficienti in questo caso (booleano). In realtà, Baur e Strassen hanno dimostrato un vincolo stretto sulla dimensione del circuito aritmetico non monotono per . E i circuiti aritmetici monotoni ? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— Stasys
fonte

$S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$ limite inferiore sulla moltiplicazione polinomiale.

$y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

$x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

$P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

$k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

Naturalmente, la FFT usa la sottrazione, quindi ingenuamente non è espressibile in un circuito monotono. Non so se esiste un altro modo per moltiplicare i polinomi in modo efficiente con i circuiti aritmetici monotone, ma qualsiasi metodo monotono efficiente per la moltiplicazione polinomiale porta immediatamente a un algoritmo anche per il tuo problema. Pertanto, limiti inferiori sul problema richiedono / implicano limiti inferiori per la moltiplicazione polinomiale.

— DW
fonte

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$ punti). Questo è stato usato per separare formule omogenee e non omogenee di piccola profondità. Ma, come dici tu, la costruzione utilizza sostanzialmente la sottrazione. Quindi, la mia domanda si pone: quanto "sostanziale" è effettivamente questo uso? Questo potrebbe essere interessante anche in uno scenario di profondità limitata.

— Stasys,

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$