Proprietà chiuse minori che sono esplicitamente esplicite MSO

Di seguito, MSO indica la logica monadica del secondo ordine dei grafici con quantificazioni di vertici e set di vertici.

Sia una famiglia di grafici chiusa minore. Dalla teoria minore grafica di Robertson e Seymour deriva che è caratterizzato da un elenco finito di minori proibiti. In altre parole, per ogni grafico , abbiamo che appartiene a se e solo se esclude tutti i grafici come minori. $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}$ $H_1,H_2,...,H_k$ $G$ $G$ $\mathcal{F}$ $G$ $H_i$

Come conseguenza di questo fatto, abbiamo una formula MSO $\varphi_{\mathcal{F}}$ che è vera su un grafico $G$ se e solo se $G\in \mathcal{F}$ . Ad esempio, i grafici planari sono caratterizzati dall'assenza dei grafici $K_{3,3}$ e $K_5$ come minori, e quindi è facile scrivere esplicitamente una formula MSO che caratterizza i grafici planari.

Il problema è che per molte belle proprietà dei grafici chiusi minori, l'elenco dei minori proibiti è sconosciuto. Quindi, mentre sappiamo che esiste una formula MSO che caratterizza quella famiglia di grafici, potremmo non sapere quale sia questa formula.

D'altra parte, può accadere che si sia in grado di elaborare una formula esplicita per una determinata proprietà senza usare il teorema minore del grafico. La mia domanda è collegata a questa possibilità.

Domanda 1: Esiste una famiglia chiusa minore di grafici $\mathcal{F}$ , in modo tale che l'insieme di minori proibiti non è noto, ma è nota una formula MSO $\varphi$ che caratterizza quell'insieme di grafici?

Domanda 2: è noto che una formula MSO esplicita $\varphi$ caratterizza alcune delle seguenti proprietà?

Genere 1 (il grafico è integrabile in un toro) (vedi EDIT di seguito)
Genere k per alcuni fissi $k>1$ (vedi EDIT di seguito)
k -plianarity per alcuni fissi $k> 1$

Gradirei qualsiasi riferimento o pensiero in merito. Non esitate a considerare altre proprietà minori chiuse, l'elenco sopra riportato è solo illustrativo.

Obs: Per esplicito non intendo necessariamente piccolo. È sufficiente fornire un argomento o un algoritmo esplicito che mostri come costruire la formula che caratterizza la proprietà data. Allo stesso modo, nel contesto di questa domanda, considero nota una famiglia di minori proibiti se uno ha dato un algoritmo esplicito per costruire quella famiglia.

EDIT: ho trovato un articolo di Adler, Kreutzer, Grohe che costruisce una formula che caratterizza i grafici del genere con la base sulla formula che caratterizza i grafici del genere k-1. Quindi questo articolo risponde ai primi due punti della domanda 2. D'altra parte questo non risponde alla domanda 1 perché esiste davvero un algoritmo che costruisce per ogni k, la famiglia di minori proibiti che caratterizza i grafici del genere k (Vedi sezione 4.2). Pertanto questa famiglia è "conosciuta" nel senso della domanda. $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
fonte

Qualsiasi classe minore proibita può essere espressa vietando un numero infinito di sottografi per ciascuno dei minorenni finitamente vietati. Ti stai quindi chiedendo: esiste una classe di grafici a chiusura minore tale che la definizione infinita (implicitamente esistente) di MSO che uno a uno proibisce a ciascuno di questi infinitamente molti sottografi può essere sostituita da una formula MSO finita (che conosciamo esplicitamente)? La congettura di Hadwiger ha questa forma, per ogni , poiché la colorabilità è espressibile da una formula MSO finita. Se la congettura è vera, questi sono i K_k -minor-free, ma questo è aperto.

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

K_{k}

$K_k$

— András Salamon,

Penserei che l'incorporabilità sul toro possa essere espressa esplicitamente come "il grafico può essere diviso in due pezzi planari" o qualcosa del genere, e allo stesso modo per generi superiori.

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Grazie per il suggerimento Emil. Ho trovato un documento che costruisce la formula che caratterizza i grafici del genere k con la base sulla formula che caratterizza i grafici del genere k-1. Questo non risponde invece alla mia domanda. Vedi la modifica.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

@ AndrásSalamon - è facile esprimere un minore proibito in un'espressione MSO esplicita e limitata. Il problema è che non sappiamo necessariamente quali minori vietare.

— David Eppstein,

@DavidEppstein: ah, mi sono perso: grazie, quindi la prima parte del mio commento può essere semplificata. Tuttavia, -Hadwiger sembra ancora rispondere a Q1? Abbiamo un insieme singleton di minori per ogni , ma "solo" manca di una prova che -minor-free sia la stessa classe di quella definita dalla formula MSO " -colorabile ".

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

ϕ_{k} =

$\phi_k =$

(k - 1)

$(k-1)$

— András Salamon,

Ho avuto una risposta qui che coinvolge i grafici dell'apice, ma non riesce la definizione di non avere un set di ostruzioni esplicito dato in questa domanda: esiste un algoritmo pubblicato per trovare il set di ostruzioni, anche se è troppo lento per essere eseguito, quindi in realtà non lo sappiamo qual è il set di ostruzioni.

Quindi ecco un'altra famiglia di risposte parametrizzabile senza quel difetto (almeno, per quanto ne so). Data una famiglia chiusa minore e un intero , il dato grafico ha un grafico di copertura -ply in ? Gran parte di questo tipo di domanda rimane sconosciuta: in particolare, la congettura di Negami, che caratterizzerebbe i grafici che hanno un grafico di copertura planare, rimane non dimostrata. Ed è chiuso in modo minore perché tutti i passaggi che prendi per fare un minore da possono essere copiati nella copertina. $F$ $k\ge 1$ $G$ $k$ $F$ $G$

Per verificare l'esistenza di una copertina -ply di in , in MSO , procedere come segue: $k$ $G$ $F$ $_2$

Utilizzare il trucco in profondità-ricerca-albero per ottenere una (arbitraria) orientamento di . $G$
Per ogni coppia con , scegli una serie di bordi in , presumibilmente quelli che hanno un bordo di copertura che va dall'applicazione all'applicazione . $(i,j)$ $0\le i,j<k$ $G$ $i$ $j$
Controllare che ogni vertice in ciascuna tela ha esattamente una copia di ciascun bordo incidente, e quindi che questa informazione rappresenta un grafico copertura valida . $G$
Emula la formula basata sul set di ostruzioni per l'appartenenza a sul grafico di copertura. $F$

— David Eppstein
fonte

David, se non mi manca qualcosa, Adler-Kreutzer-Grohe-2008 ha fornito un algoritmo che calcola una caratterizzazione minore esclusa per appex-C a condizione che tu fornisca come input la caratterizzazione minore per la classe C. Ma questo algoritmo potrebbe essere troppo inefficiente . Penso che Addler spera che l'elenco dei minori esclusi per appex-PLANAR sia piccolo e quindi stia chiedendo un elenco esplicito, perché sarebbe troppo complicato costruirlo usando il loro algoritmo. Sono interessato a una proprietà per la quale è nota la formula MSO, ma non è noto alcun algoritmo per la costruzione dei minori.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

È vero per qualsiasi classe C chiusa in modo minore che la classe di grafici con una copertina in C sia chiusa in modo minore?

— Denis

Sì. Vedi la frase già nella mia risposta su "Ed è poco chiusa perché ...".

— David Eppstein,

grazie per la nuova risposta. Non ho visto che la risposta era stata modificata fino ad ora.

— Mateus de Oliveira Oliveira,