Polinomi espliciti in 1 variabile con limiti inferiori della complessità del circuito superlogaritmico?

Contando gli argomenti, si può dimostrare che esistono polinomi di grado n in 1 variabile (cioè qualcosa della forma che hanno complessità del circuito n. Inoltre, si può dimostrare che un polinomio come richiede almeno moltiplicazioni (è necessario solo per ottenere un grado abbastanza alto). Ci sono esempi espliciti di polinomi in 1 variabile con un limite inferiore superlogaritmico alla complessità? (i risultati su qualsiasi campo sarebbero interessanti) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— hastings opachi
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Gli esempi che hai in mente con la complessità del circuito su un campo finito? Non vedo come un argomento di conteggio avrebbe funzionato su un campo infinito, e sui razionali sono abbastanza sicuro che il limite di Paterson-Stockmeyer sia stretto (vedi anche la mia risposta sotto).

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow,

Il limite sqrt (n) che menzioni è solo un limite superiore al numero di moltiplicazioni (su qualsiasi campo), ma se contiamo sia le addizioni che le moltiplicazioni come operazioni, allora abbiamo bisogno di n operazioni su un campo infinito per quasi ogni polinomio, solo perché non ci sono n coefficienti distinti nel polinomio e non c'è modo di valutare tutti i possibili polinomi con meno di n operazioni (non sono sicuro se questo debba essere chiamato argomento di conteggio o meno).

— Matt Hastings

Penso che devi essere un po 'più preciso nell'affermazione "non c'è modo di valutare tutti i possibili polinomi con meno di n operazioni". Un modo di interpretare è: se pensiamo al polinomio come un polinomio non solo in , ma trattiamo anche gli come variabili (o, equivalentemente, supponiamo che siano algebricamente indipendenti), allora il risultato che ciò richiede n aggiunte è di Pan (1966) e non è solo un argomento di conteggio (anche se non è troppo difficile). Altrimenti, non sono del tutto sicuro del risultato a cui ti riferisci con questa affermazione.

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— Joshua Grochow,

Quello che voglio dire è: il circuito è costituito da porte di addizione e moltiplicazione. Gli ingressi per una data porta possono essere uscite di porte precedenti, o x, o alcune costanti. La domanda è: per un dato polinomio, possiamo trovare un circuito e una scelta di costanti in quel circuito per calcolarlo? Ma abbiamo uno spazio tridimensionale di polinomi (n + 1), ma se fissiamo la struttura di un circuito con meno di n gate (per "struttura", intendo quali gate usano output di cui altri gate) e consideriamo tutto le possibili scelte di costanti danno uno spazio inferiore a uno n di polinomi che possono essere calcolati.

— Matt Hastings

A proposito --- l'impressione che ottengo è che la costruzione di esempi espliciti su R o C senza ulteriori restrizioni sui coefficienti sia per lo più risolta. D'altra parte, costruendo esempi espliciti in cui tutti i coefficienti a_i sono numeri interi e non crescono troppo rapidamente, è ancora aperto? C'è un esempio con tutte le costanti intere nel sondaggio che menzioni, ma crescono doppiamente in modo esponenziale.

— Matt Hastings

Paterson e Stockmeyer mostrano che per la maggior parte delle -tuple di numeri razionali , la valutazione di richiede l' aritmetica operazioni, e questo è stretto. $n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

I seguenti polinomi rientrano in un fattore logaritmico del limite , dai risultati di Strassen, Schnorr, Heintz & Sieveking: , , (per un razionale che non è un numero intero), ecc. Per riferimenti esatti e per ulteriori informazioni al riguardo, vedere le pagine 324-325 del sondaggio di von zur Gathen . $\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— Joshua Grochow
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Grazie. Quindi, sembrerebbe che il problema aperto sia che se si considerano le aggiunte anche come operazioni, si può costruire un polinomio che ha bisogno di più di sqrt (n) operazioni, con l'obiettivo di costruirne una che ha bisogno di n operazioni. Qualche risultato verso questo? (Ne dubito, perché nel metodo che necessita solo di moltiplicazioni sqrt (n), le aggiunte danno una certa moltiplicazione di matrice e ciò probabilmente riduce a limiti inferiori sulla complessità di una moltiplicazione matrice-scalare)

— matt hast