I circuiti aritmetici sono più deboli di quelli booleani?

Sia la dimensione minima di un circuito aritmetico (non monotono) che calcola un dato polinomio multilineare e indicano la dimensione minima di un circuito booleano (non monotono) che calcola la versione booleana di definito da: ( + , × , - ) f ( x 1 , … , x n ) = ∑ e ∈ E c e n ∏ i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$B ( f ) ( ∨ , ∧ , ¬

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ f f b ( x 1 , … , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

I polinomi $f$ noti per cui $B(f)$ è più piccolo di $A(f)$ ?

Se consideriamo le versioni monotone dei circuiti - nessuna porta Minus e nessuna Not - allora può essere anche esponenzialmente più piccola di : prendiamo, ad esempio, il polinomio del percorso st più breve su ; quindi e . Ma cosa succede nel "mondo non monotono"? Ovviamente, non si possono riconoscere grandi lacune solo perché non abbiamo limiti inferiori grandi su . Ma forse ci sono almeno alcune piccole lacune conosciute? ( ¬ ) B ( f $(-)$$(\neg)$$B(f)$f K n B ( f ) = O ( n 3 ) A ( f ) = 2 Ω ( n $A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$$A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

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NOTA (15.03.2016) Nella mia domanda, non ho specificato in che sono ammessi i coefficienti . Igor Sergeev mi ha ricordato che, per esempio, il seguente (univariato) polinomio ha (Strassen e persone del suo gruppo). Ma per questo polinomio, poiché . Possiamo ottenere fron un multivariata polinomio di variabili usando usando la sostituzione Kronecker. Associa ad ogni esponente un monomiale , dove$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$sono i coefficienti 0-1 della rappresentazione binaria di . Quindi il polinomio desiderato è , e abbiamo che Ma la versione booleana di è solo un OR di variabili, quindi , e abbiamo un gap esponenziale uniforme. Pertanto, se l'entità dei coefficienti può essere tripla esponenziale nel numero di variabili, allora lo spazio può essere mostrato essere persino esponenziale. (In realtà, non la grandezza stessa - più la dipendenza algebrica dei coefficienti.) Ecco perché il vero problema con è il caso di piccoli$j$$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ B ( f ′ ) ≤ n - 1 $f'$$B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$coefficienti (idealmente, solo 0-1). Ma in questo caso, come ha ricordato Joshua, il limite inferiore di Strassen e Baur (con coefficienti 0-1) rimane il migliore di quello che abbiamo oggi.$A(f)=\Omega(n\log n)$

Il permanente sembrerebbe qualificarsi, almeno condizionatamente (cioè, assumendo ). Si noti che la versione booleana del permanente è solo per decidere se un dato grafico bipartito ha una corrispondenza perfetta, che ha circuiti polivalenti.$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

[Riassumendo i commenti qui sotto:] Nonostante questo esempio sia condizionale, al momento non ci si può aspettare incondizionatamente un divario logaritmico, poiché è ancora il limite inferiore più noto sui circuiti algebrici generali. Come sottolineato da Stasys, questo gap logaritmico è raggiunto dalla funzione (richiede circuiti algebrici di dimensione di Baur-Strassen), il cui valore booleano la versione è solo .∑ n i = 1 x n i Ω ( n log n ) x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x $\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$