I circuiti aritmetici sono più deboli di quelli booleani?


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Sia la dimensione minima di un circuito aritmetico (non monotono) che calcola un dato polinomio multilineare e indicano la dimensione minima di un circuito booleano (non monotono) che calcola la versione booleana di definito da: ( + , × , - ) f ( x 1 , , x n ) = e E c e n i = 1 x e i iA(f)(+,×,)B ( f ) ( , , ¬ )

f(x1,,xn)=eEcei=1nxiei,
B(f)(,,¬) f f b ( x 1 , , x n ) = e E i : e i0 x ifbf
fb(x1,,xn)=eE i:ei0xi.
I polinomi f noti per cui B(f) è più piccolo di A(f) ?

Se consideriamo le versioni monotone dei circuiti - nessuna porta Minus e nessuna Not - allora può essere anche esponenzialmente più piccola di : prendiamo, ad esempio, il polinomio del percorso st più breve su ; quindi e . Ma cosa succede nel "mondo non monotono"? Ovviamente, non si possono riconoscere grandi lacune solo perché non abbiamo limiti inferiori grandi su . Ma forse ci sono almeno alcune piccole lacune conosciute? ( ¬ ) B ( f )()(¬)B(f)f K n B ( f ) = O ( n 3 ) A ( f ) = 2 Ω ( n )A(f)fKnB(f)=O(n3)A(f)=2Ω(n)A(f)


NOTA (15.03.2016) Nella mia domanda, non ho specificato in che sono ammessi i coefficienti . Igor Sergeev mi ha ricordato che, per esempio, il seguente (univariato) polinomio ha (Strassen e persone del suo gruppo). Ma per questo polinomio, poiché . Possiamo ottenere fron un multivariata polinomio di variabili usando usando la sostituzione Kronecker. Associa ad ogni esponente un monomiale , dovecef(z)=j=1m22jmzjA(f)=Ω(m1/2)B(f)=0fb(z)=zff(x1,,xn)n=logmjXj=i:ai=1xi(a1,,an)sono i coefficienti 0-1 della rappresentazione binaria di . Quindi il polinomio desiderato è , e abbiamo che Ma la versione booleana di è solo un OR di variabili, quindi , e abbiamo un gap esponenziale uniforme. Pertanto, se l'entità dei coefficienti può essere tripla esponenziale nel numero di variabili, allora lo spazio può essere mostrato essere persino esponenziale. (In realtà, non la grandezza stessa - più la dipendenza algebrica dei coefficienti.) Ecco perché il vero problema con è il caso di piccolijf=j=1mcjXj
A(f)+nA(f)=Ω(m1/2)=2Ω(n).
B ( f ) n - 1 nfB(f)n1nA(f)/B(f) A(f)coefficienti (idealmente, solo 0-1). Ma in questo caso, come ha ricordato Joshua, il limite inferiore di Strassen e Baur (con coefficienti 0-1) rimane il migliore di quello che abbiamo oggi.A(f)=Ω(nlogn)

Risposte:


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Il permanente sembrerebbe qualificarsi, almeno condizionatamente (cioè, assumendo ). Si noti che la versione booleana del permanente è solo per decidere se un dato grafico bipartito ha una corrispondenza perfetta, che ha circuiti polivalenti.VP0VNP0

[Riassumendo i commenti qui sotto:] Nonostante questo esempio sia condizionale, al momento non ci si può aspettare incondizionatamente un divario logaritmico, poiché è ancora il limite inferiore più noto sui circuiti algebrici generali. Come sottolineato da Stasys, questo gap logaritmico è raggiunto dalla funzione (richiede circuiti algebrici di dimensione di Baur-Strassen), il cui valore booleano la versione è solo .n i = 1 x n i Ω ( n log n ) x 1x 2x nΩ(nlogn)i=1nxinΩ(nlogn)x1x2xn


Ciao Joshua: hai ragione, il permanente è un esempio (sebbene condizionale)! Bene, non conosciamo alcun limite inferiore su A (f) per permanente. Ma se le versioni a costante costante di VP e VNP differiscono, allora conosciamo la separazione B (f) vs. A (f) senza conoscere un limite (effettivo).
Stasys,

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@Stasys: Nota che è improbabile che anche i "piccoli spazi vuoti" che hai chiesto siano conosciuti incondizionatamente, dato che l'attuale migliore limite inferiore contro un circuito algebrico generale è solo ! Quindi è possibile che ci sia un divario tra un circuito booleano di dimensioni lineari e un limite inferiore algebrico quasi lineare, ma nulla di più forte è conosciuto incondizionatamente, e questo è un divario davvero piccolo ...Ω(nlogn)
Joshua Grochow

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a Giosuè: giusto, di nuovo buon punto. Se f è una somma di n-esimi poteri di tutte le n variabili singole, allora B (f) è al massimo n, e Baur-Strassen mostra A (f) è almeno circa n volte logaritmo di n. Questo è il più noto per A (f). Quindi, il più grande divario esplicito noto per la mia domanda è davvero solo logaritmico. (Una domanda a parte: sai perché il mio @ scompare sempre nei commenti?)
Stasys

@Stasys: bell'esempio. (Ri: a parte. Non lo so. Penso che il sistema faccia una deduzione automatica di chi sono le cose "associate", e se stai indirizzando un messaggio alla "persona predefinita", allora lo rimuove. Penso .)
Joshua Grochow,

Giusto. L'autore di un post viene sempre informato di nuovi commenti, quindi il sistema rimuove la notifica @ esplicita come ridondante.
Emil Jeřábek 3.0
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