Mantenimento del valore di un polinomio su un input aggiornato dinamicamente

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Sia un polinomio su un campo finito fisso. Supponiamo di avere il valore di su un vettore e sul vettore . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Vogliamo ora calcolare il valore di su un vettore tale che e differiscano esattamente su una posizione (in altre parole, capovolgiamo esattamente un bit in ). Quali sono i compromessi di spazio e tempo per questo problema? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Ad esempio, se è il numero di monomi in , possiamo memorizzare i coefficienti ei valori di tutti monomi in . Se viene capovolto, fissiamo il valore di ciascun monomio contenente e quindi il valore di utilizzando le informazioni memorizzate. Nel complesso, abbiamo bisogno di tempo e spazio. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Non dico nulla su come identifichiamo i monomi contenenti allo scopo. Puoi scegliere qualsiasi rappresentazione ragionevole di , nell'esempio presumo che memorizziamo un elenco di monomi contenenti per ogni .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

C'è qualcosa di meglio?

polynomials dynamic-algorithms

— Tatiana Starikovskaya
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La tua idea si generalizza come segue: dato un circuito algebrico (sopra il campo finito) o un circuito booleano (calcolando la rappresentazione bit-saggio dei tuoi elementi di campo finiti) calcolando , quindi mantenendo il valore su ogni gate nel circuito. Quando si modifica l' -esimo bit di , è sufficiente propagare quel cambiamento lungo il DAG del circuito, a partire dall'ingresso . Se il circuito ha dimensioni , ciò richiede tempo e spazio. Questo potrebbe essere molto più piccolo del numero di monomi (che corrisponde solo alle dimensioni dei circuiti algebrici di profondità 2). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Joshua Grochow
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Non sono sicuro che fosse intenzionale, ma il problema non dice che ci viene dato

, solo

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Andrew Morgan,

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@AndrewMorgan Dipende dalla tua domanda, per il mio va bene supporre che ti venga dato. Grazie per il commento!

— Tatiana Starikovskaya,

2

@AndrewMorgan: In effetti, sebbene ciò sia tecnicamente vero, il modo in cui la costruzione di esempio nell'OQ è stata formulata sembrava presupporre implicitamente che sia dato

. Se

non viene dato, penso che questo problema diventi molto più difficile. (Tatiana, può valere la pena aggiungere questo come chiarimento alla domanda.)

y

$y$

y

$y$

— Joshua Grochow,

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È facile modificare il tuo approccio di memorizzazione monomiale in modo che ogni aggiornamento richieda un tempo solo proporzionale al numero di monomi modificati: basta aggiornare il valore polinomiale totale aggiungendo il nuovo valore e sottraendo il vecchio valore per ogni monomio modificato.

Se hai una formula read-once per (cioè ogni variabile appare su una singola foglia dell'albero della formula e ogni nodo interno è un'operazione aritmetica a due input come più o volte), puoi mantenere il valore di in logaritmico tempo per aggiornamento utilizzando un albero rake-compress sulla formula. Applicando questo approccio a una formula arbitraria, il tempo per aggiornare una variabile che appare volte sarà dove è la dimensione della formula. Quindi, ad eccezione del fattore log, questo generalizza il limite per il numero di monomi modificati e si applica a tipi più generali di espansione del polinomio in una formula. $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— David Eppstein
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