Esiste un algoritmo di approssimazione dei fattori costante per il problema della colorazione del rettangolo 2D?

Il problema che consideriamo qui è l'estensione del noto problema di colorazione degli intervalli. Invece degli intervalli consideriamo i rettangoli con lati paralleli agli assi. L'obiettivo è colorare i rettangoli utilizzando un numero minimo di colori in modo tale che a due rettangoli sovrapposti vengano assegnati colori diversi.

Questo problema è noto per essere NP-difficile. Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein e Andrezej Lingas (Approssimazione del set massimo indipendente e colorazione minima del vertice sui grafici a riquadro) hanno dato un'approssimazione O (log n). Esiste un algoritmo di approssimazione migliore?

Sappiamo che il problema della colorazione degli intervalli è risolto in tempo polinomiale da un algoritmo di primo adattamento considerando gli intervalli in base ai loro endpoint di sinistra. Tuttavia, l'algoritmo online di primo adattamento è 8 competitivo quando gli intervalli appaiono in ordine arbitrario.

Qual è la prestazione dell'algoritmo di primo adattamento per il problema della colorazione del rettangolo? Cosa succede all'algoritmo di primo adattamento quando i rettangoli vengono visualizzati in base ai lati sinistro (verticale)?

Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto in merito.

Come suggerito dall'altra risposta, il limite inferiore di $\Omega(\log n)$ non è troppo difficile da vedere. Facciamo il movimento dal basso verso l'alto con una linea orizzontale. L'idea è quella di costruire componenti che richiedono un numero sempre maggiore di colori. In particolare, sia $C(i)$ un gadget che ha un rettangolo superiore con il colore $i$ (ovvero, il primo adattamento gli assegnerebbe il colore $i$ ). Chiaramente, $C(1)$ è solo un singolo rettangolo. Il componente $C(2)$ è

In generale, il componente $C(k)$ è un rettangolo con $C(1), \ldots, C(k-1)$ sospeso sotto di esso:

Ora, è facile verificare che un algoritmo fit-first con una scansione orizzontale dal basso userebbe i colori $k$ per colorare $C(k)$ . Tuttavia, il grafico delle intersezioni di $C(k)$ è solo un albero e può essere colorato di $2$ colori. Ora, $C(k)$ è solo un albero di Fibonacci nella struttura, e come tale il numero di nodi in esso è $2^{O(k)}$ , che implica gap $\Omega( \log n )$ .

Poiché esiste un semplice algoritmo che ottiene l' approssimazione di $O( \log n)$ alla colorazione dei rettangoli, questo potrebbe essere stretto. Non lo so.

Per quanto ne so, questo non è noto. Un vecchio documento di Asplund e Grunbaum (1960) mostra che se il numero della cricca è 2, il numero cromatico è al massimo 6 (e questo è stretto). Penso che dovrebbe essere facile trovare esempi in cui lo spazio per il primo adattamento è maggiore di qualsiasi costante, poiché gli alberi possono essere rappresentati da un grafico di intersezione di rettangoli e gli alberi richiedono log n colori da qualsiasi algoritmo online.

Penso che la carta Asplund, Grunbaum o successive mostrino anche che il numero cromatico dei grafici di intersezione del rettangolo è al massimo O (k ^ 2), dove k è la dimensione della cricca massima ... tuttavia, non sono noti esempi che richiedono più che lineari in k numero di colori.