Coerenza relativa della PA e alcune teorie del tipo

Per una teoria dei tipi, per coerenza, intendo che ha un tipo che non è abitato. Dalla forte normalizzazione del cubo lambda, ne consegue che il sistema $F$ e il sistema $F_\omega$ sono coerenti. I tipi induttivi MLTT + hanno anche una prova di normalizzazione. Tuttavia, tutti questi dovrebbero essere abbastanza potenti da costruire un modello di PA, il che dimostra che la PA è coerente con queste teorie. Il sistema $F$ è piuttosto potente , quindi mi aspetto che sia in grado di dimostrare la coerenza della PA costruendo un modello usando i numeri della Chiesa. MLTT + IT ha un tipo induttivo di numeri naturali e dovrebbe anche dimostrare coerenza.

Tutto ciò implica che le prove di normalizzazione per queste teorie non possono essere interiorizzate in PA. Così:

Il sistema $F$ , il sistema $F_\omega$ e MLTT + IT possono effettivamente dimostrare la coerenza della PA?
Se possono, quale metateoria è necessaria per dimostrare la normalizzazione per il sistema $F$ , $F_\omega$ e MLTT + IT?
C'è un buon riferimento per la teoria della dimostrazione delle teorie dei tipi in generale o per alcune di queste teorie dei tipi in particolare?

type-theory proof-theory

— fhyve
fonte

Nel Sistema F non otterrai un principio di induzione per i numeri della tua Chiesa, quindi sono fuori dalle equazioni.

— gallais,

La risposta breve alla tua domanda 1 è no , ma per ragioni forse sottili.

Prima di tutto, Sistema e non possono esprimere la teoria del primo ordine dell'aritmetica , e ancor meno la coerenza di . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

In secondo luogo, e questo è davvero sorprendente, può effettivamente dimostrare la coerenza di entrambi questi sistemi! Questo viene fatto usando il cosiddetto modello irrilevante di prova , che interpreta i tipi come insiemi , dove è un elemento fittizio che rappresenta un abitante di un tipo non vuoto. Poi si può scrivere le semplici regole per il funzionamento di e su tali tipi piuttosto facilmente per ottenere un modello per il sistema , in cui il tipo è interpretata da $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ . Si può fare una cosa simile per , usando un po 'più di attenzione per interpretare i tipi più alti come spazi di funzioni finite. $F_\omega$

C'è un apparente paradosso qui, in cui può dimostrare la coerenza di questi sistemi apparentemente potenti, ma non (come mostrerò tra poco) la normalizzazione. $\mathrm{PA}$

L'ingrediente mancante qui è la realizzabilità . La realizzabilità è un modo per far corrispondere determinati programmi a determinate proposizioni, tipicamente in aritmetica. Non entrerò nei dettagli qui, ma se un programma realizza una proposizione , scritta , allora abbiamo una certa prova per , in particolare se sta normalizzando, quindi . Abbiamo: $p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

Teorema: Se è un teorema dell'aritmetica del secondo ordine , allora c'è un termine chiuso del sistema tale che $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

Questo teorema può essere dimostrato in , e quindi abbiamo e si applica l'argomento di Gödel (e non può dimostrare la normalizzazione del sistema ). E 'utile notare che l'implicazione inversa tiene così, quindi abbiamo una caratterizzazione precisa della potenza prova teorica necessaria per dimostrare la normalizzazione del sistema . $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

Esiste una storia simile per il sistema , che, a mio avviso, corrisponde all'aritmetica superiore . $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

Infine, abbiamo il caso complicato di MLTT con tipi induttivi. Anche in questo caso sorge un problema piuttosto sottile. Certamente qui possiamo esprimere la coerenza di , quindi non è un problema, e non esiste un modello irrilevante per la prova, in quanto possiamo dimostrare che il tipo ha almeno 2 elementi (una quantità infinita di elementi distinti , infatti). $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

Tuttavia ci imbattiamo in un fatto sorprendente di teorie intuizionistiche di ordine superiore: , la versione di ordine superiore di Heyting Arithmetic è conservativa rispetto a ! In particolare, non possiamo dimostrare la coerenza di (che equivale a quella di ). Una ragione intuitiva di ciò è che gli spazi di funzioni intuitivi non consentono di quantificare su un sottoinsieme arbitrario di , poiché tutte le funzioni definibili devono essere calcolabili. $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

In particolare, non penso che tu possa dimostrare la coerenza di se aggiungi solo numeri naturali a MLTT senza universi. Credo che l'aggiunta di universi o tipi induttivi "più forti" (come i tipi ordinali) ti darà comunque abbastanza potere, ma temo di non avere alcun riferimento per questo. Con universi, l'argomento sembra abbastanza semplice, però, dal momento che si dispone di abbastanza teoria degli insiemi di costruire un modello di . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

Infine, riferimenti per la teoria della dimostrazione dei sistemi di tipi: penso che ci sia davvero un vuoto nella letteratura qui, e mi piacerebbe un trattamento pulito di tutti questi argomenti (in effetti, un giorno sogno di scriverlo da solo!). Nel frattempo:

Il modello irrilevante delle prove è spiegato qui da Miquel e Werner, sebbene lo facciano per il calcolo delle costruzioni, il che complica un po 'le cose.
L'argomento di realizzabilità è delineato nei classici Proofs and Tipi di Girard, Taylor e Lafont. Penso che anche loro abbozzino il modello irrilevante della prova, oltre a molte altre cose utili. È probabilmente il primo riferimento da leggere.
L'argomentazione conservativa dell'aritmetica di Heyting di ordine superiore si trova nell'elusivo secondo volume di Costruttivismo in matematica di Troelstra e van Dalen (vedi qui ). Entrambi i volumi sono estremamente istruttivi, ma piuttosto difficili da leggere per un principiante, IMHO. Inoltre evita in qualche modo argomenti di teoria dei tipi "moderni", il che non sorprende vista l'età dei libri.

Un'ulteriore domanda nei commenti riguardava l'esatta forza di coerenza / forza di normalizzazione degli induttivi MLTT +. Non ho una risposta precisa qui, ma certamente la risposta dipende dal numero di universi e dalla natura delle famiglie induttive consentite. Rathjen esplora questa domanda nell'eccellente articolo La forza di alcune teorie di Martin-Lof Type .

Normalmente scritta, l'idea di base è che se, per 2 teorie e , abbiamo $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

quindi, generalmente

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

dove 1- è 1 consistenza e è (debole) normalizzazione. $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT + il tipo di numeri naturali (e ricorsione) è un'estensione conservativa di , che è dimostrata nei modelli ricorsivi di Besson per le teorie costruttive . $\mathrm{HA}_\omega$

Per quanto riguarda la MLTT con induzione-ricorsione o induzione-induzione, non so quale sia la situazione, e AFAIK, il problema della forza di coerenza esatta è ancora aperto.

— cody
fonte

Quindi, in un certo senso, il sistema F è una teoria molto debole, ma ha questo problema combinatorio che richiede una teoria molto forte per dimostrarlo? In tal caso, allora la sua prova teorica ordinale non dovrebbe essere conosciuta, e meno di

, contraddicendo la domanda che ho collegato?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— Fhyve,

E dovrebbe leggere "se

sta normalizzando, allora

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve,

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$