Possiamo dimostrare una debole normalizzazione per il Sistema F per induzione su un ordinale transfinito

Una debole normalizzazione per il semplice calcolo lambda tipizzato può essere dimostrata (Turing) mediante induzione su . Un calcolo lambda esteso con ricorsori su numeri naturali (Gentzen) ha una strategia di normalizzazione debole per induzione su ϵ 0 .$\omega^2$$\epsilon_0$

Che dire del sistema F (o più debole)? Esiste una debole prova di normalizzazione in questo stile? In caso contrario, si può fare del tutto?

L'indagine più completa sulla relazione tra la teoria della dimostrazione costruttiva (che è strettamente legata alla teoria delle ordinali costruttive) e l'aritmetica impredicativa di secondo ordine (che come Ulrik sottolinea è equivalente in termini di forza al Sistema F) è Girard (1989). Lì si basa sulla sua teoria dei dilatatori (1981), che in realtà non seguo, ma penso che essenzialmente fornisca una teoria non costruttiva della skolemizzazione di ordine superiore.

La mia comprensione è che non puoi esprimere formule in modo costruttivo nel senso del Vescovo — Martin-Löf, perché sono impredicative in un modo che non puoi eliminare aggiungendo qualsiasi tipo di schema di induzione del primo ordine.$\Sigma^1_2$

Ricordo di aver suggerito a un teorico ordinale che si potrebbe semplicemente stabilire che è possibile fondare un costruttivismo impredicativo in una teoria dei tipi basata sul calcolo lambda polimorfico e utilizzare la tecnica del candidato di riduzione dalla prova SN di Girard per il Sistema F per imporre un ordine totale ragionevole su l'universo delle costruzioni, chiamando le classi di equivalenza che ottieni da questo ordinali; ha detto qualcosa di intelligente che ho portato via dicendo che potresti farlo funzionare, ma avrebbe tutti i vantaggi del furto sulla fatica onesta. Per farlo funzionare, non è abbastanza buono che tu possa dimostrare nella teoria degli insiemi l'esistenza di tali ordinali, avresti bisogno di una prova costruttiva della tricotomia per l'ordine.

Per riassumere, con la nozione regolare di costruzione intuizionista dovuta a Bishop — Martin-Löf, la letteratura che conosco suggerisce fortemente di no. Se sei contrario alla fatica onesta e accetti un costruttivismo impredicativo, allora credo che probabilmente possa essere fatto. Naturalmente, avresti bisogno di una teoria più forte secondo cui il Sistema F per provare costruttivamente la tricotomia richiesta, ma il Calcolo delle costruzioni induttive fornisce un ovvio candidato.

Riferimenti

1. Girard, Jean-Yves (1981), -logico. I. Dilatatori, annali di logica matematica 21 (2): 75–219.$\Pi^1_2$
2. Girard (1989) Teoria della prova e complessità logica, vol. I , Napoli: Bibliopolis. Non c'è volume II.

In un modo molto sciocco, la debole normalizzazione per qualsiasi sistema ragionevole può essere dimostrata dall'induzione su un ordinale costruttivo, purché ovviamente la debole normalizzazione valga. In effetti, l'affermazione che il Sistema F ha una debole normalizzazione è formalizzabile in aritmetica come una frase , e come tale è dimostrabile (poiché è vero) dall'induzione transfinita lungo una notazione ordinale costruttiva non naturale dell'altezza ω 2 . (Vedi questa domanda sullo scambio di stack matematici su come potrebbe funzionare questo ordinamento.)$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

Spero che un giorno qualcuno tiri fuori una notazione ordinale per l'aritmetica del secondo ordine che tutti saranno d'accordo è naturale, e che quindi potrebbe essere usato in modo onesto per dimostrare una debole normalizzazione per il Sistema F.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Inoltre, penso che l'aritmetica del secondo ordine sia abbastanza forte e che nessun limite superiore costruttivo sia ancora noto per la sua "prova teorica ordinale" ( L'arte dell'analisi ordinale, sezione 3 ).

Penso che questo vincolo ordinale costruttivo sia ciò che è necessario per fare l'induzione richiesta.