Generalizzazione del teorema di Dilworth per i DAG etichettati

Un un'anticatena in un DAG è un sottoinsieme di vertici che sono coppie irraggiungibile, cioè, non vi tale che è raggiungibile da in . Dal teorema di Dilworth nella teoria dell'ordine parziale, è noto che se il DAG non ha antichain di dimensione , allora può essere decomposto in un'unione di al massimo catene disgiunte, cioè percorsi diretti. $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

Ora, sono interessato ai DAG etichettati , cioè ai DAG in cui ogni vertice porta un'etichetta in alcuni insiemi finiti fissi di etichette. Dato un antichain , posso definire la sua dimensione etichettata come il numero minimo di occorrenze delle etichette di in , vale a dire,. Esiste un analogo del teorema di Dilworth in questo contesto? In altre parole, se presumo che un DAG non abbia antichain di dimensioni etichettate $v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ , cosa posso assumere riguardo alla sua struttura? Posso scomporlo in qualche modo speciale? Sono già perplesso dal caso di , ma sono anche interessato al caso di un set di etichette finito generale. $\Sigma = \{a, b\}$

Per visualizzare questo per , dicendo che ha un'anticatena di dimensioni marcato significa che non c'è un'anticatena contenente almeno vertici etichettati e vertici etichettati ; possono esserci antichain arbitrariamente grandi, ma devono contenere solo elemento o solo elementi , al massimo fino a eccezioni. Sembra che non consentire grandi anticatene deve imporre che il DAG essenzialmente "alterna" tra parti di grande larghezza per vertici -labeled, e grande larghezza di $\Sigma = \{a, b\}$ $G$ $k$ $k$ $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ vertici con etichetta, ma non sono stato in grado di formalizzare questa intuizione. (Naturalmente, un'adeguata caratterizzazione strutturale deve parlare delle etichette dei vertici oltre alla forma del DAG, perché già per e su la condizione è soddisfatta da DAG completamente arbitrari ogni volta che tutti i vertici portano la stessa etichetta.) $k \geq 1$ $\{a, b\}$

— a3nm
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@Saeed, No questo non funziona. La tua confusione deriva dal fatto che se una lettera non appare in un antichain, la sua dimensione etichettata è . Prendiamo ad esempio un completo bipartito grafo G = (A, B, E), ogni spigolo orientato da A a B. Etichetta ogni vertice di A con singolo vertice B con . Quindi ogni antichain contiene al massimo un colore e quindi ha una dimensione etichettata , ma non puoi coprirla con catene disgiunte. Lo stesso con un DAG che etichetti con solo.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— lupo,

@holf, giusto, pensavo che contassimo le etichette in cui compaiono nell'antichain, non ho notato che min supera tutti gli elementi del sigma. Penso che sia una definizione un po 'strana.

— Saeed,

@Saeed: il punto è di non consentire gli antoini con una grande varietà di simboli. L'intuizione di ciò è che stiamo studiando la complessità di un problema sui DAG, che diventa banale quando si hanno antichain così grandi (sufficienti occorrenze di simboli incomparabili). Per dimostrare la tracciabilità complessiva, dobbiamo solo gestire il caso dei DAG laddove questo modello non si verifica, quindi vogliamo capire come tali DAG possano essere scomposti per progettare un algoritmo trattabile per loro. (Nel caso senza etichetta, ad esempio, la decomposizione della catena porta a un algoritmo dinamico.)

— a3nm

Con Charles Paperman siamo stati in grado di ottenere un tale risultato per i DAG etichettati con l'alfabeto . Essenzialmente, possiamo dimostrare che dato un DAG che ha grandi anticatene di elementi -labeled, grandi anticatene di -labeled elementi, ma senza grandi anticatene contenenti sia molti -labeled e elementi -labeled, allora v'è una scomposizione come partizione , dove: $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

la partizione è ciò che chiamiamo "stratificazione", ovvero:
- ogni è un insieme convesso, ovvero se e quindi $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- per tutti , non esiste e tale che $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
per qualsiasi un'anticatena di , c'è qualche tale che è "quasi contenuta" in , vale a dire, è meno di una costante $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
per ogni , è vero quanto segue:
- contiene un grande antichain dielementi con etichetta b e non contiene un grande antichain dielementi con etichetta a- $L_i$ $a$ $b$
- contiene una grande un'anticatena di -labeled elementi ma contiene nessuna grande un'anticatena di elementi -labeled $L_i$ $b$ $a$

Inoltre, tale partizione può essere calcolata in PTIME.

Ho pubblicato la nostra prova corrente online . È molto approssimativo e sostanzialmente non revisionato perché per il momento non riusciamo a utilizzare il risultato, ma ho ancora pensato che fosse più ordinato aggiungere una risposta a questa domanda di CStheory con i nostri progressi attuali. Non esitare a contattarmi se sei interessato al risultato ma non riesci a dare un senso alla prova.

— a3nm
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