Il teorema di Adleman su infiniti semirings?

Adleman ha mostrato nel 1978 che : se una funzione booleana di variabili può essere calcolata da un circuito booleano probabilistico di dimensione , allora può anche essere calcolato da un deterministico circuito booleano di dimensioni polinomiali in e ; in realtà, di dimensione . $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $f$ $n$ $M$ $f$ $M$ $n$ $O(nM)$

Domanda generale: su quali altri semirings (oltre il booleano) contiene ? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Per essere un po 'più specifico, un circuito probabilistico su un semiring usa le sue operazioni "addizione" e "moltiplicazione" come porte Gli input sono variabili di input e possibilmente un numero di variabili casuali aggiuntive, che prendono i valori e indipendente con probabilità ; qui e sono, rispettivamente, le identità additive e moltiplicative del semiring Tale circuito calcola una data funzione $\mathsf{C}$ $(S,+,\cdot,0,1)$ $(+)$ $(\cdot)$ $x_1,\ldots,x_n$ $0$ $1$ $1/2$ $0$ $1$ $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ se per ogni $x\in S^n$ , $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$ .

La funzione di voto $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$ di $m$ variabili è una funzione parziale il cui valore è $y$ se l'elemento $y$ appare più di $m/2$ volte tra $y_1,\ldots,y_m$ e non è definito , se non esiste tale elemento $y$ . Una semplice applicazione dei limiti di unione e di Chernoff produce quanto segue.

Maggioranza Trucco: Se un circuito probabilistico $\mathsf{C}$ calcola una funzione $f:S^n\to S$ su un insieme finito $X\subseteq S^n$ , poi ci sono $m=O(\log|X|)$ realizzazioni $C_1,\ldots,C_m$ di $\mathsf{C}$ tale che $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$ vale per ogni $x\in X$ .

Oltre il semiring booleano, la funzione di voto $\mathrm{Maj}$ è la funzione maggioritaria e ha circuiti piccoli (anche monotoni). Quindi, il teorema di Adleman segue prendendo $X=\{0,1\}^n$ .

Ma che dire di altri (specialmente infiniti) semirings? Che dire del semiring aritmetico (con aggiunta e moltiplicazione abituali)? $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

Domanda 1: non presa sul semianello aritmetica? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Anche se scommetto per "sì", non posso mostrarlo.

Nota: sono a conoscenza di questo articolo in cui gli autori rivendicano sul campo reale . Si occupano di circuiti aritmetici non monotone e arrivano anche (nel Teorema 4) ai circuiti con la funzione di voto come gate di uscita. Ma come simulare questo -gate da un circuito aritmetico (che sia monotono o no)? Cioè come ottenere il loro Corollary 3? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ $\mathrm{Maj}$ $\mathrm{Maj}$

In realtà, il seguente semplice argomento che mi è stato detto da Sergey Gashkov (dell'Università di Mosca) sembra dimostrare che ciò è impossibile (almeno per i circuiti in grado di calcolare solo i polinomi ). Supponiamo di poter esprimere come un polinomio . Quindi implica , implica e implica . Ciò vale perché, su campi di caratteristica zero, l'uguaglianza delle funzioni polinomiali significa uguaglianza di coefficienti. Si noti che nella domanda 1, la gamma di circuiti probabilistici, e quindi, il dominio del $\mathrm{Maj}(x,y,z)$ $f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ $f(x,x,z)=x$ $c=0$ $f(x,y,x)=x$ $b=0$ $f(x,y,y)=y$ $a=0$ $\mathrm{Maj}$ -gate è infinita . Ho quindi l'impressione che il documento collegato riguardi solo i circuiti aritmetici che calcolano le funzioni con piccoli intervalli finiti , come . Quindi è davvero facile da calcolare mediante un circuito aritmetico. E se ? $f:\mathbb{R}^n\to Y$ $Y$ $Y=\{0,1\}$ $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$ $Y=\mathbb{R}$

Correzione [6.03.2017]: Pascal Koiran (uno degli autori di questo documento) mi ha fatto notare che il loro modello è più potente dei semplici circuiti aritmetici: consentono le porte dei segni (in uscita

0

$0$ o

1

$1$ seconda che l'ingresso sia negativo di non). Quindi, la funzione di voto Maj può essere simulata in questo modello e riprendo la mia "confusione".

Nel contesto della programmazione dinamica, particolarmente interessante è la stessa domanda per i semirings tropicali min-plus e max-plus $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$ e $(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$ .

Domanda 2: non presa su di semianelli tropicali? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Detenuto in questi due semirings, ciò significherebbe che la casualità non può accelerare i cosiddetti "puri" algoritmi di programmazione dinamica! Questi algoritmi utilizzano solo le operazioni Min / Max e Somma nelle loro ricorsioni; Bellman-Ford, Floyd-Warshall, Held-Karp e molti altri importanti algoritmi DP sono puri. $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Finora, posso solo rispondere alla domanda 2 (affermativamente) nello scenario di errore unilaterale , quando abbiamo anche bisogno di sul min- più semiring (minimizzazione) o rispetto al semiring max-plus (massimizzazione). Cioè, ora richiediamo che il circuito tropicale randomizzato non possa mai produrre un valore migliore di quello ottimale; può, tuttavia, errare dando alcuni valori peggiori di quelli ottimali. Le mie domande sono, tuttavia, nello scenario di errore su due lati . $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

PS [aggiunto il 27.02.2017]: ecco il mio tentativo di rispondere alla domanda 1 (affermativamente). L'idea è quella di combinare una versione più semplice del "combinatorio Nullstellensatz" con una stima del problema Zarankiewicz per gli hypergraps n-part, dovuta a Erdos e Spencer. Modulo quest'ultimo risultato, l'intero argomento è elementare.

Si noti che la domanda 2 rimane ancora aperta: l '"ingenuo Nullstellensatz" (almeno nella forma che ho usato) non regge nelle semenze tropicali.

— Stasys
fonte

nit: BPP è una classe uniforme definita usando PTM non circuiti.

— Kaveh,

@Kaveh: sì, in questo senso, il risultato di Adleman è anche un po 'più forte, vale anche per BPP / poly.

— Stasys,

Non vedo come il semplice argomento mostri l'impossibilità ... sembra mostrare che i coefficienti dei monomi x, ye z devono essere zero ... cosa mi sto perdendo? Inoltre, se un polinomio non può calcolare Maj, in quale altro modo puoi rappresentare un calcolo su un semiring? (Cos'altro oltre a un polinomio sul semiring?) Intuitivamente, su un dominio infinito, ogni vincolo su alcuni y (imponendo che su> m / 2 y è necessario emettere y) sembra "indipendente" dagli altri (nessun sottoinsieme di vincoli implica un altro), quindi sembra che nessun polinomio "finito" sia in grado di soddisfare gli infiniti vincoli indipendenti.

— Ryan Williams,

@Ryan: sì, questo mostra solo f = Mag implica h = Mag. Ma h ha un grado> 1, quindi h (x, x, z) = x è impossibile. E hai ragione: i circuiti su semirazioni non possono calcolare nient'altro come polinomi. Quindi, non possono calcolare il Mag. Ma gli autori di quel documento si occupano dei circuiti {+, x, -, /}, con tutte le operazioni sul campo consentite. Forse allora Maj può ancora essere calcolato in qualche modo? (Tuttavia, non vedo come.) Btw invece di provare a simulare Maj stesso, si potrebbe rispondere a Q1 e Q2 mostrando che un Maj-gate non può sostanzialmente ridurre le dimensioni del circuito (il che è abbastanza plausibile).

— Stasys,

@Ryan: PS Igor Sergeev ha osservato che Maj "potrebbe" essere probabilmente calcolabile su (R, +, x, -, /). Ad esempio, Maj (x, y, z) è calcolabile da f (x, y, z) = (xy + xz-2yz) / (2x-yz) per tutti gli input con | {x, y, z} | = 2. Si noti che il semplice argomento di cui sopra implica che, già su tali input, ciò non può essere eseguito su (R, +, x, -). Quindi, la divisione può aiutare. Ma affrontiamo la divisione per 0 numeri ...

— Stasys

Questa è solo una risposta parziale alla tua domanda generale (non sono sicuro di quale sarebbe una formulazione del tutto generale), ma suggerisce che lavorare su semirings infiniti sufficientemente piacevoli limitando la casualità a un dominio finito potrebbe effettivamente banalizzare la domanda se Il teorema di Adleman regge.

Supponiamo che tu stia lavorando sui numeri complessi , in modo che i circuiti calcolino i polinomi su quel campo e supponga che la funzione sia calcolata da alcuni polinomi (comunque complicati) delle variabili . Quindi si scopre che già per alcuni fissi , . Il motivo è che per ogni , l'insieme di con determina un sottoinsieme di Zariski di , e quindi deve essere tutto di , oppure un sottoinsieme della misura zero. Se tutti questi insiemi dovessero avere la misura zero, allora, perché ci sono solo finitamente molti $\mathbb{C}$ $f$ $x$ $r$ $C(x,r) = f(x)$ $r$ $x$ $C(x,r) = f(x)$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$ $r$ È in considerazione, l'insieme di dove avrebbe anche la misura zero. D'altra parte, il presupposto che calcola implica che l'insieme deve essere tutto , quindi non può avere la misura zero. $x$ $\exists r : C(x,r) = f(x)$ $C$ $f$ $\mathbb{C}^n$

— Andrew Morgan
fonte

Interessante. Più in generale, un circuito probabilistico di dimensione M è una variabile casuale C che prende i suoi valori nell'insieme di tutti i circuiti (di quel tipo) con al massimo M porte. [Tra quella carta di Cucker ad al. consente a C di essere arbitrariamente distribuito. Lo stil "trucco della maggioranza" funziona.] Posso concludere dalla tua tesi che, se l'intervallo di C è finito, il teorema di Adleman è banale quando i sottoinsiemi chiusi da Zarinski sono o banali (si imposta da soli) o hanno misura zero? Abbiamo questo effetto "tutto o niente" nelle semenze tropicali? (Sono principalmente interessato a loro.)

— Stasys,

Non so come o se l'argomento si generalizzerebbe ad altri semirings, mi dispiace. Una cosa principale che manca (per me) è l'intuizione geometrica simile a come i "polinomi che non sono d'accordo" si traducono in "sottoinsiemi misura-zero di ". Per le semine tropicali in particolare, le operazioni sembrano così diverse dai polinomi ordinari che è difficile persino indovinare quale dovrebbe essere l'adattamento appropriato.

C^{n}

$\mathbb{C}^n$

— Andrew Morgan,