La Legge del Medio Escluso implica l'Assioma K nella Teoria del Tipo Intensionale di Martin-Löf?

Quindi mi chiedevo se la Legge del Medio Escluso (LEM) implichi il cosiddetto Axiom K nella Teoria del Tipo Intensionale di Martin-Löf. Axiom K afferma che In effetti, ho cercato di dimostrare l'affermazione più generale che ma dopo aver ridotto a per induzione di uguaglianza sono bloccato nel primo problema. Ho anche provato a procedere per contraddizione, ma non sembra funzionare ..

Π_{UN : T y p e} Π_{X : UN} Π_{p : Id (X, X)}, Id (p, {rifl}_{X})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

Π_{UN : T y p e} Π_{X, y : UN} Π_{p, q : Id (X, y)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Questo è provabile affatto?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
fonte

Sì, LEM implica K. See HoTT libro Teorema 7.2.5 , noto come teorema di Hedberg, il che dimostra che qualsiasi tipo con soddisfa parità decidibili assioma . Se assumiamo il mezzo escluso, tutti i tipi hanno uguaglianza decidibile. $K$

Il tuo secondo principio è noto come UIP o Uniqueness of Identity Proofs. È equivalente ad Axiom K, vedi Teorema 7.2.1 nel libro HoTT (basta scorrere verso l'alto da 7.2.5 di una pagina). Nessuno di questi può essere derivato nella teoria del tipo intensionale di Martin-Löf, da un famoso risultato di Thomas Streicher e Martin Hofmann .

— Andrej Bauer
fonte

Coglierò l'occasione per menzionare l'elegante prova di Alan Schmitt che evidenzia chiaramente l'ingrediente chiave: la capacità, data una prova di uguaglianza, di produrne una canonica.

— gallais,

Tuttavia, vale anche la pena notare che, come indicato anche nel libro HoTT, esiste una forma più debole di "LEM" che non implica K ed è probabilmente ciò che i matematici realmente intendono per LEM, vale a dire LEM limitato ai tipi subsingleton.

— Mike Shulman,