Esistono lingue altamente simmetriche NP o P-complete?

Esiste , un linguaggio NP o P completo che ha una famiglia di gruppi di simmetria (o groupoid , ma poi le domande algoritmiche diventano più aperte) agendo (in tempo polinomiale) sugli insiemi tale che ci sono poche orbite, cioè tale che per abbastanza grande e qualche , e tale che può essere generato efficiente?$L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$$n$

Il punto qui è che se si trova un linguaggio / gruppo come questo, e se si possono trovare forme normali sotto azioni di gruppi di tempo polinomiali in , allora si può ridurre di una riduzione di a un linguaggio scarso calcolando la forma normale per ogni dato , sottintendendo che o$\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, a seconda che tu abbia scelto inizialmente una lingua NP o P completa. Quindi sembra che o non ci siano gruppi di questo tipo con orbite sparse o che il calcolo di forme normali sia difficile per tutti questi gruppi o che uno di questi risultati tratterrà e penso che molti di noi non credano. Inoltre sembrerebbe che se si può calcolare la relazione di equivalenza sulle orbite anziché sulle forme normali, si potrebbe ancora farlo in modo non uniforme, in . Sperando che altre persone abbiano pensieri su questo.$\mathrm{P/poly}$

Per NP, questo sembra difficile da costruire. In particolare, se puoi anche campionare elementi (quasi) uniformi del tuo gruppo - il che è vero per molti modi naturali di costruire gruppi - allora se un linguaggio NP-completo ha un'azione di gruppo poli-tempo con poche orbite, il PH collassa. Infatti, con questo presupposto aggiuntivo sulla campionabilità, il protocollo standard per l'isomorfismo grafico funziona anche per verificare se due stringhe sono nella stessa orbita G n . Avremmo quindi N P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$ , così crolli pH a Z P P N P . Quindi, per evitare il collasso del PH, qualsiasi costruzione del genere per NP avrebbe bisogno che i gruppinonavessero un efficiente campionatore quasi uniforme.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

La mia intuizione è che un linguaggio NP di questo tipo comporterebbe un collasso della gerarchia polinomiale molto simile a quello del teorema di Karp-Lipton.

Più specificamente, se sali al secondo livello della gerarchia polinomiale, puoi usare il potere della gerarchia per indovinare l'equivalenza tra un determinato elemento di gruppo e un rappresentante di una classe di equivalenza, e poi torni al Karp –Lipton case in cui il fatto che tu abbia polinomialmente molti input non equivalenti ti mette in P / poly.

(Il risultato dovrebbe essere lo stesso della risposta di Joshua Grochow, ma senza l'ipotesi aggiuntiva di campionabilità.)