L'incomprensibilità della complessità di Kolmogorov deriva dal teorema del punto fisso di Lawvere?

Molti teoremi e "paradossi" - la diagonalizzazione di Cantor, l'indecidibilità del tratteggio, l'indecisione della complessità di Kolmogorov, l'incompletezza di Gödel, l'incompletezza di Chaitin, il paradosso di Russell, ecc. - hanno tutti essenzialmente la stessa prova di diagonalizzazione (si noti che questo è più specifico di quello che possono tutto è dimostrato dalla diagonalizzazione; piuttosto, sembra che tutti questi teoremi utilizzino davvero la stessa diagonalizzazione; per maggiori dettagli vedi, ad esempio Yanofsky , o per un resoconto molto più breve e meno formalizzato della mia risposta a questa domanda ).

In un commento alla domanda sopra citata, Sasho Nikolov ha sottolineato che la maggior parte di questi erano casi speciali del teorema del punto fisso di Lawvere . Se fossero tutti casi speciali, questo sarebbe un buon modo per catturare l'idea di cui sopra: ci sarebbe davvero un risultato con una prova (quella di Lawvere) da cui tutto quanto sopra è seguito come corollario diretto.

Ora, per Gödel Incompletezza e indecidibilità del problema di arresto e dei loro amici, è risaputo che seguono dal Teorema del punto fisso di Lawvere (vedi, ad esempio, qui , qui o Yanofsky ). Ma non vedo immediatamente come farlo per l'indecidibilità della complessità di Kolmogorov, nonostante il fatto che la prova di fondo sia in qualche modo "la stessa". Così:

L'indecidibilità della complessità di Kolmogorov è un rapido corollario - che non richiede alcuna diagonalizzazione aggiuntiva - del teorema del punto fisso di Lawvere?

— Joshua Grochow
fonte

Devo dire che tutto ciò che ho mai saputo su questo argomento ho imparato da questo post sul blog di Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Nikolov

@MaxNew: Sia una funzione calcolabile, calcolato da qualche TM . Lascia che sia la seguente TM: su input vuoto, inizia a scorrere le stringhe una alla volta fino a trovare una con e output . Nota che per alcuni dipende solo da. Quindi per ogni tale che(qualsiasi sufficientemente grande farà), o non esiste tale (nel qual caso ) o restituisce alcuni

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$ tale che (per costruzione), ma il fatto che restituisca implica che , quindi .

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow,

@NealYoung: Simile, ma quelli non rispondono abbastanza alla mia domanda. Ridurre dal problema di arresto sta prendendo HALT come "fonte" di incomputabilità e quindi usando le riduzioni. Ma (ad esempio) la prova che ho dato nei commenti sopra mostra che puoi anche prendere la complessità K come "fonte di incomputabilità", ma da una prova molto simile a quella di HALT. Quella prova simile può effettivamente essere dimostrata essere la stessa in un certo senso tecnico? (In questo caso, dimostrando che sono tutti esempi del Teorema di Lawvere, che mi sembra più forte di molti tipi di riduzione.) È quello che sto davvero cercando.

— Joshua Grochow,

@NealYoung: Sì, generalizza il teorema del punto fisso di Roger. Ma se lo consideri solo come il teorema di Roger, perderai il punto; il punto è che Lawvere è abbastanza generale da catturare la strategia di dimostrazione di molte prove diverse, oltre a quella di Roger. L'articolo di Yonofsky collegato alla domanda vuole essere un'esposizione "senza categoria" del teorema di Lawvere, amico delle persone per le quali la teoria delle categorie di Lawvere potrebbe essere intimidatoria.

— Joshua Grochow,

Vedi anche cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: aggiungere l'avvertenza che il teorema di Roger a virgola fissa potrebbe non essere un caso speciale di Lawvere.

Ecco una prova che può essere "vicina" ... Usa il teorema a virgola fissa di Roger invece del teorema di Lawvere. (Vedi la sezione commenti qui sotto per ulteriori discussioni.)

Sia la complessità di Kolmogorov della stringa . $K(x)$ $x$

lemma . non è calcolabile $K$ .

Prova .

Supponiamo per contraddizione che sia calcolabile. $K$
Definisci come lunghezza minima di codifica di qualsiasi Macchina di Turing con . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Esiste una costante tale che per tutte le stringhe . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Definisci la funzione tale che dove tale che sia la stringa minima tale che . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Poiché è calcolabile, lo è anche . $K$ $f$
Secondo il teorema di Roger a virgola fissa , ha un punto fisso, cioè esiste una macchina di Turing tale che dove . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
Dalla definizione di nella riga 4, abbiamo tale che . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
Le righe 3 e 7 implicano. $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Ma dalla definizione di nella riga 2,, in contraddizione con la riga 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
fonte

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

Sopra il mio voto, @AndrejBauer - non conosco la teoria delle categorie. Ho provato a leggere questo e la tua risposta qui . Ancora non capisco. Puoi dirmi, nel tuo commento sopra, per il teorema di Rogers, cosa prendi per la funzione (con tipo ), e che cos'è ? O forse suggerire un tutorial appropriato?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young,

Slides 45 e 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (la buona notizia è che ora ho un piano definito e una scadenza per la stesura di un ampio documento sulla computabilità sintetica ).

— Andrej Bauer,