Campionamento approssimativo da poliedri convessi con computer quantistici

I computer quantistici sono ottimi per campionare le distribuzioni che non sappiamo campionare usando i computer classici. Ad esempio, se f è una funzione booleana (da a - 1 , 1 ) che può essere calcolata in tempo polinomiale, allora con i computer quantistici possiamo campionare in modo efficiente in base alla distribuzione descritta dall'espansione di Fourier di f. (Non sappiamo come farlo con i computer classici.)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

Possiamo usare i computer quantistici per campionare o approssimativamente campionare un punto casuale in un poliedro descritto da un sistema di n disuguaglianze in d variabili?

Passare dalle disuguaglianze ai punti mi sembra in qualche modo simile a una "trasformazione". Inoltre, sarei felice di vedere un algoritmo quantico anche se modifichi la distribuzione, ad esempio considera il prodotto della distribuzione gaussiana descritto dagli iperpiani del poliedro o altre cose.

Alcune osservazioni: Dyer, Frieze e Kannan hanno trovato un famoso algoritmo polinomiale classico per campionare approssimativamente e calcolare approssimativamente il volume di un poliedro. L'algoritmo si basa su passeggiate casuali e missaggio rapido. Quindi vogliamo trovare un algoritmo quantistico diverso per lo stesso scopo. (OK, possiamo sperare che un algoritmo quantistico possa portare anche a cose in questo contesto che non sappiamo fare in modo classico. Ma per iniziare, tutto ciò che vogliamo è un algoritmo diverso, questo deve essere possibile.)

In secondo luogo, non insistiamo nemmeno sul campionamento approssimativo della distribuzione uniforme. Saremo felici di assaggiare approssimativamente qualche altra bella distribuzione che è supportata approssimativamente sul nostro poliedro. C'è un argomento di Santosh Vampala (e anche da me in un altro contesto) che porta dal campionamento all'ottimizzazione: se si desidera ottimizzare il campione f (x) per trovare un punto y dove f (x) è tipico. Aggiungi il vincolo {f (x)> = f (y)} e ripeti.

Come riconosce la posta, l'esistenza di un classico algoritmo del tempo polinomiale per stimare il volume di un politopo convesso è un punto di svolta. È molto meno probabile che un algoritmo quantistico sia interessante a meno che non sia competitivo con gli algoritmi classici. Dopotutto, senza quel criterio, qualsiasi algoritmo classico potrebbe semplicemente essere chiamato invece algoritmo quantistico.

Detto questo, c'è ancora spazio per un'accelerazione polinomiale e il punto di vista principale e noto per quel tipo di accelerazione è una camminata quantica, soprattutto considerando che l'accelerazione classica in questo caso si basa su una buona camminata casuale. (In effetti, qualsiasi algoritmo quantistico può essere visto come una passeggiata quantistica, ma per alcuni algoritmi questo non è necessariamente illuminante.) Vari articoli nella letteratura QC hanno sottolineato che gli algoritmi per stimare il volume di un politopo convesso usano passeggiate casuali, e che potrebbe esserci un'accelerazione da una passeggiata quantistica. Quindi, sembra che i ricercatori conoscano questo suggerimento, ma che nessuno ha cercato di capire quale accelerazione polinomiale potresti ottenere per questo problema. Potresti non ottenere nulla se il miglior algoritmo classico ha una sorta di spoiler,

Ecco una raccolta di articoli che menzionano tutti l'idea di base di passaggio; di nuovo, Google Scholar sembra suggerire che nessuno è andato oltre.

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Quantum Walks su Hypercube
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Le passeggiate casuali quantistiche colpiscono esponenzialmente più velocemente
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Decoherence in passeggiate quantistiche discrete
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - Controllo delle passeggiate quantistiche discrete: monete e stati iniziali
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - Camminata quantistica su una linea con due particelle intrecciate
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Entanglement in passeggiate quantistiche coniate su grafici regolari
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Accelerazione quantistica dei processi di miscelazione classici
8. arXiv: 0804.4259 - Accelerazione tramite campionamento quantistico
9. Un approccio casuale agli algoritmi quantistici
10. Camminata quantistica discreta per risolvere equazioni non lineari su campi finiti

L'altro lato degli algoritmi classici per stimare il volume di un politopo convesso è la programmazione lineare. Non so che ci siano stati progressi nel trovare un'accelerazione quantistica per questo. Sembra difficile evitare una fase di programmazione lineare al fine di mettere il polytope convesso in una posizione favorevole per il campionamento.