Soluzioni massime minime di LP

La programmazione lineare è, ovviamente, al giorno d'oggi molto ben compresa. Abbiamo molto lavoro che caratterizza la struttura delle soluzioni fattibili e la struttura delle soluzioni ottimali. Abbiamo la forte dualità, algoritmi poli-tempo, ecc.

Ma cosa si sa sulle soluzioni minime massime di LP? O, equivalentemente, soluzioni minime massime?

(Questa non è davvero una domanda di ricerca, ma forse possiamo avere qualcosa di meno tecnico per le vacanze. Sono solo curioso, e dopo aver cercato su Google ho la sensazione che mi manchino le parole chiave giuste. Sembra ovvio problema da studiare, ma ho trovato solo alcuni articoli sporadici che menzionano il problema.)

Per semplificare le cose, concentriamoci sull'imballaggio e sulla copertura degli LP . In un LP imballaggio ci viene dato un non negativo matrice . Un vettore è possibile se e . Diciamo che è massimo se è fattibile e non possiamo aumentare avidamente alcun componente. Cioè, se e , allora non è fattibile. E infine, è una soluzione minima minima , se minimizza la funzione obiettivo $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ $\sum_i x_i$ tra tutte le soluzioni massime.

(È possibile definire una soluzione minima minima di un LP di copertura in modo analogo.)

Che aspetto ha lo spazio delle soluzioni minime massime? Come possiamo trovare tali soluzioni? Quanto è difficile trovare tali soluzioni? Come possiamo approssimare tali soluzioni? Chi studia queste cose e qual è il termine giusto per farlo?

Queste domande erano originariamente motivate da insiemi dominanti ai margini e abbinamenti massimi minimi . È ben noto (e abbastanza facile da vedere) che una corrispondenza minima minima è un insieme dominante minimo del bordo; viceversa, dato un set dominante minimo del bordo, è facile costruire una corrispondenza massima minima.

Quindi sono essenzialmente lo stesso problema. Entrambi i problemi sono NP-hard e APX-hard. Esiste un banale algoritmo di approssimazione 2: qualsiasi corrispondenza massima.

Tuttavia, i loro "naturali" rilassamenti in LP sembrano molto diversi. Se si prende il limite del problema dominante e si forma un rilassamento LP naturale, si ottiene un LP coprente. Tuttavia, se si prende il problema di trovare una corrispondenza massima minima e si tenta di ottenere un rilassamento LP, che cosa si ottiene? Bene, naturalmente gli abbinamenti frazionari sono soluzioni fattibili di un LP di imballaggio; quindi gli abbinamenti frazionari massimi sono soluzioni massime di tali LP e gli abbinamenti frazionari massimi minimi sono quindi soluzioni massime minime di tali LP. :)

— Jukka Suomela
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La tua definizione di massimo come "non possiamo aumentare avidamente qualsiasi componente" suona molto come Nash Equilibrium. C'è una connessione nascosta alla teoria dei giochi qui?

— Derrick Stolee,

Non è il caso che per ogni soluzione massima nell'imballaggio di un esempio di LP, ? Quindi essenzialmente stiamo cercando una soluzione minima (in -norm) del sistema di equazioni lineari.

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

— Imran Rauf,

@Imran: No, non credo sia corretto. Esiste sempre una soluzione massima (e una soluzione massima), anche se non abbiamo una soluzione per .

A x = 1

$Ax = 1$

— Jukka Suomela,

Conosci i programmi lineari a collo di bottiglia , in cui l'aspetto minimax è tutto nella funzione obiettivo?

— Mike Spivey,

Risposte:

Massimalità e minimalità: sono tipi di ottimalità di Pareto.
Complessità: penso che trovare una soluzione minima minima sia NP-difficile. Ridurrei il problema della dominazione dell'indipendenza (alias il minimo problema con il set indipendente massimo) nei grafici bipartiti. Questo problema (più precisamente la sua versione decisionale) è noto per essere NP completo (DG Corneil e Y. Perl, Clustering e dominio in grafici perfetti. Discrete Applied Mathematics 9 (1984) 27-39). Poiché un grafico bipartito è perfetto, il suo politopo insieme indipendente è determinato dalle disuguaglianze della cricca e il numero di cricche in un grafico bipartito è polinomiale. Pertanto, possiamo scrivere esplicitamente un sistema di disuguaglianze lineari Ax <= 1, x> = 0 per il politopo insieme indipendente. Le soluzioni estreme corrispondono agli insiemi indipendenti e le soluzioni estreme massime corrispondono agli insiemi massimi indipendenti.

— Yoshio Okamoto
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Potresti trovare utile esaminare le coppie di poliedri bloccanti e antibloccanti . Supponiamo che tu abbia un problema di imballaggio. Allora la vostra regione ammissibile è un poliedro angolo nella orthant non negativo, e il suo anti-bloccante (anche un angolo poliedro) è fondamentalmente l'insieme di disuguaglianze definiscono . $P$ $A(P)$ $P$

Ad esempio, se si prende il set di poli stabile per alcuni grafici (ovvero lo scafo convesso dei vettori di incidenza di insiemi stabili), il suo anti-bloccante è il politopo di cricca frazionaria di , cioè (ovvero l'insieme delle ponderazioni non negative in modo tale che nessuna serie stabile abbia un peso totale ). $STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

Se guardi "Il metodo dell'ellissoide e le sue conseguenze nell'ottimizzazione combinatoria" di Grötschel, Lovász e Schrijver, scoprirai che l'ottimizzazione su è in un certo senso equivalente dal punto di vista computazionale all'ottimizzazione su . Questo è un modo per dimostrare che calcolare il numero cromatico frazionario è NP-difficile, poiché la doppia regione rispetto all'LP è l'anti-bloccante del polytope impostato stabile! $P$ $A(P)$

Purtroppo ho avuto difficoltà a trovare una spiegazione trasparente di questa roba, ma non sono affatto un esperto di poliedri. Spero che lo troverai rilevante per il problema in questione.

— Andrew D. King
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