Questo politipo di "sottogruppo di imballaggio" è integrale?

Sia un gruppo abeliano finito, e sia il politopo in definito come i punti soddisfano le seguenti disuguaglianze: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

dove significa che è un sottogruppo di . è integrale? In tal caso, possiamo caratterizzarne i vertici? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

La mia domanda originariamente è nata con , in cui alcuni piccoli esempi ( ) suggeriscono che la risposta è "sì" e "forse, ma non è semplice". Ho anche provato il gruppo ciclico su 9 e 10 elementi, così come , dove ancora una volta il polytope è integrale. Il polytope non è integrale quando è uno di , e , quindi l'apparenza è apparentemente essenziale. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Vorrei menzionare che se scrivi il primo set di equazioni come , allora non è necessariamente totalmente unimodulare (il che implicherebbe che il politopo sia integrale). Quando , puoi scegliere tre linearmente indipendenti e prendere le tre distanziate da ciascuna coppia degli elementi selezionati . La sottomatrice risultante è fino alla permutazione, e quindi ha il determinante . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

È facile (se noioso) caratterizzare i vertici per i gruppi di primo ordine e osservare che sono integrali. Sono abbastanza sicuro che questo possa essere esteso a gruppi ciclici con un ordine di potenza primaria. Non sono sicuro di cosa succede quando si assumono prodotti.

Questo sistema ricorda molto quei polimatroidi che definiscono , ma piuttosto che una funzione di set sottomodulare, i vincoli sono una "funzione di sottogruppo" che sospetto sia "sottomodulare" una volta che è stata definita nel modo giusto. Tuttavia, le tecniche per mostrare alcuni polimatroidi sono integrali potrebbero funzionare anche qui, ma non vedo come.

Inoltre, l'analisi di Fourier può essere rilevante: quando , sembra che i vertici che massimizzano siano esattamente il punto con per tutti , così come quelli con dove è il carattere -th Fourier (in seguito alla notazione standard dall'analisi delle funzioni booleane), e è non vuoto. (Quando è vuoto, il punto corrispondente è , che è anche un vertice.) $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
fonte

Domanda davvero interessante! Nel caso di , potresti essere in grado di ottenere un certo chilometraggio dall'analisi notando che il gruppo automorfismo agisce in modo transitorio sugli elementi di non identità (in effetti, in un senso "n-transitivo ", in quanto invia qualsiasi n-tupla di elementi di gruppo linearmente indipendenti a qualsiasi altra n-tupla). Per iniziare, puoi supporre WLOG che sia il più grande tra gli elementi di non identità e che

sia il secondo più grande ...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow Grazie! Non sono sicuro che l'ordinamento delle coordinate sia la strada da percorrere, ma le simmetrie sono quasi sempre utili. Un altro posto per usarli è sui vincoli: gli automorfismi inviano sottogruppi a sottogruppi, dopo tutto. Qualcosa che sembra utile è, per ogni punto , fare una media su tutti gli automorfismi che fissano l'insieme dei vincoli strettamente su . Non so come rendere gestibile quella quantità.

x

$x$

x

$x$

— Andrew Morgan,

Sì, questa è una domanda molto interessante e curiosa. (Se non ti dispiace condividere) C'era la motivazione a guardare questi particolari polipetti? O semplicemente qualcosa che è stato inciampato per caso?

— John Machacek,

@JohnMachacek Stavo tentando di caratterizzare le distribuzioni su che derivano da una scelta di sottospazio lineare da una distribuzione arbitraria e quindi selezionando uniformemente a caso un elemento del sottospazio. Questo può essere espresso come un LP coprente il cui doppio ha il politopo sopra indicato come sua regione realizzabile. Il fatto che sia capitato di essere integrale in circostanze così interessanti sembrava troppo interessante per non essere condiviso con tcs.se.

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— Andrew Morgan,

@AndrewMorgan Perché il polytope è naturale o ha utilità? Le coordinate solo dimensione di cattura di .

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— T ....

Andrew (il richiedente) e io ne avevamo discusso tramite e-mail e abbiamo dimostrato che la congettura è falsa. Il politopo non è integrale per i gruppi abeliani, neppure per i gruppi ciclici.

Sul lato positivo.

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Questo perché la famiglia di sottogruppi è un'unione di due famiglie laminari.

$2\times 3\times 5 =30$

$30$

$x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Chao Xu
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