Tardos Funzione controesempio di Blum rivendicazione

In questa discussione , la tentata dimostrazione di Norbet Blum viene succintamente smentita notando che la funzione Tardos è un controesempio del Teorema 6. $P \neq NP$

Teorema 6 : Sia qualsiasi funzione booleana monotona. Supponiamo che esista un approssimatore CNF-DNF che può essere usato per dimostrare un limite inferiore per . Quindi può anche essere usato per dimostrare lo stesso limite inferiore per . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

Ecco il mio problema: la funzione Tardos non è una funzione booleana, quindi come soddisfa le ipotesi del Teorema 6?

In questo articolo , discutono della complessità della funzione , che non è in generale una funzione booleana monotona, poiché i bordi crescenti possono rendere più grande per rendere false quando era vero con meno nell'input. La funzione , in generale, non calcola su e su . $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

In effetti, i set di test e sono scelti con precisione in modo che il calcolo su e su con monotonicità significhi la tua funzione nel calcolo preciso CLIQUE (definiscono il limite di e nel reticolo degli input ), quindi queste osservazioni implicano che la funzione Tardos è la stessa di CLIQUE, il che chiaramente non è vero. $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

Tuttavia, così tante persone - e tali persone ben informate - affermano che la funzione Tardos fornisce un controesempio immediato, quindi ci deve essere qualcosa che mi manca. Potresti fornire una spiegazione dettagliata o una prova per quelli di noi che sono parti interessate ma non del tuo livello?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— user144527
fonte

Una buona fonte sarebbe il libro di Jukna , p.272 (poco prima del Teorema 9.28). Data la funzione (non booleana) , considera la funzione booleana che è il limite di : Il risultato si applica quindi.

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Clemente C.

Quindi, per essere chiari, mi stai dicendo che valuterà su cricche di dimensione e su grafici di vertici indotti dal corretto coloranti per ?

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527,

Naturalmente, questo non vale per nessun . Ma la funzione di Tardos si basa su una funzione di grafico monotono soddisfacente . Quindi, il limite di di fa esattamente quello che dici. Vedere la fine della Sezione 9.8 qui .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys,

Destra. A proposito, in realtà non capisco perché le persone stiano votando male la tua domanda (ammissibile alla luce di tutto questo rumore attorno a questa "prova")? Ora è l'autore di questo turno di rivendicazione P! = NP: spiega perché la "prova" NON funzionerà per la funzione di Tardos. Indica la pagina X e le righe Y nella carta. Suggerimento: il bug sarà nel limite superiore del numero di errori introdotti durante l'approssimazione (le negazioni possono annullare molti termini precedentemente "validi"). Altrimenti (nessuna spiegazione) = nessuna "prova".

— Stasys,

@Stasys, il tuo primo commento può essere una risposta.

— Kaveh,

quindi queste osservazioni implicano che la funzione Tardos è la stessa di CLIQUE. $f$

Risposta breve - NO.

È solo una "cricca" monotona : accetta tutti i -cliques e rifiuta tutti i grafici completi -partite. Può, tuttavia, accettare alcuni grafici rifiutati da CLIQUE: grafici con ma (i cosiddetti grafici "non perfetti"). L' articolo di Grötschel, Lovász e Schrijver implica che ha un circuito non monotono di dimensioni polinomiali. Ma, secondo il Teorema 6 nella "dimostrazione" , qualsiasi funzione booleana monotona simile alla cricca richiede circuiti non monotone di dimensioni super polinomiali. Quindi, uno di questi due documenti deve $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ sbagliarsi. Il documento GLS-1981 rimase in piedi per> 35 anni ...

Quello che fa Tardos è il seguente. Comincia dalla funzione grafica , dove è la famosa funzione theta di Lovász. Il fatto fondamentale è che il numero è inserito tra il numero della cricca e il numero cromatico: . Quindi usa il fatto che può essere approssimato in un tempo polinomiale. Sulla base di ciò, definisce una funzione grafico con le seguenti proprietà: $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

I valori di possono essere calcolati in tempo polinomiale (nel numero di vertici). $\phi(G)$ $n$
$\phi$ è monotono: l'aggiunta di spigoli può solo aumentare il suo valore.
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ vale per tutti i grafici . $G$

Quindi (come osserva Clemente C.) definisce la funzione booleana monotona desiderata come: iff . Con (1), la funzione ha un circuito (non monotono) di dimensioni polinomiali. Con (2), è una funzione booleana monotona. Con (3), accetta tutti i -cliques e rifiuta tutti i grafici completi -partite. $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

Vedi qui per i dettagli tecnici.

— Stasys
fonte

Il documento GLS-1981 è qui gratuitamente. Questo articolo, a sua volta, si basa sulla carta elissoide Khachiyan-1979. Quindi, (almeno) uno di questi tre documenti deve essere sbagliato?

— Tobias Müller,

@Tobias: beh, siamo abbastanza sicuri che questi due vecchi documenti> 35 siano corretti (così tante volte riprodotti a lezione, qualcuno avrebbe già osservato un errore). Il problema con l'attuale "prova" è che è "per costruzione", non "per argomento" (come nei due documenti citati). È quindi difficile individuare un luogo specifico , dove la "costruzione" fallisce. Soprattutto quando la "costruzione" è così imprecisa. Questo è il motivo per cui penso che ora sia IL DOVERE dell'autore, non di noi, indicare questo posto (dove Tardos non passa attraverso la sua costruzione.)

— Stasys,