Complessità della comunicazione ... Classi?

Discussione :

Ultimamente ho trascorso un po 'di tempo personale imparando varie cose nella complessità della comunicazione. Ad esempio, ho acquisito familiarità con il capitolo pertinente di Arora / Barak, ho iniziato a leggere alcuni documenti e ho ordinato il libro di Kushilevitz / Nisan. Intuitivamente, voglio confrontare la complessità della comunicazione con la complessità computazionale. E in particolare, sono colpito dal fatto che la complessità computazionale si è sviluppata in una ricca teoria di collocazione dei problemi computazionali in classi di complessità, alcune delle quali possono essere a loro volta ( almeno da una prospettiva ) concepite in termini di problemi completi per ogni classe data. Ad esempio, quando si spiega $NP$ per qualcuno per la prima volta, è difficile evitare confronti con SAT o qualche altro problema NP-completo.

In confronto, non ho mai sentito nulla di un concetto analogo per le classi di complessità della comunicazione. Ci sono molti esempi di cui sono a conoscenza, di problemi "completi per un teorema". Ad esempio, come un quadro generale, gli autori potrebbero descrivere un determinato problema di comunicazione e poi dimostrare che un teorema correlata T detiene i f f il problema di comunicazione può essere risolto in X o meno bit (per alcuni X che dipende dalla specifica teorema / coppia problematica in questione). La terminologia utilizzata poi in letteratura è che P è "completa" per T .$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Inoltre, c'è una linea allettante nella bozza del capitolo sulla complessità della comunicazione di Arora / Barak (che sembra essere stata rimossa / ottimizzata nella stampa finale) che afferma "In generale, si possono considerare protocolli di comunicazione analoghi a , c o N P , P H ecc. " Tuttavia, noto due importanti omissioni:$NP$$coNP$$PH$

1. Il concetto "analogo" sembra essere un modo per calcolare la complessità della comunicazione per risolvere un determinato protocollo con accesso a diversi tipi di risorse, ma si arresta appena prima di definire le classi di complessità della comunicazione adeguate ...
2. La maggior parte della complessità della comunicazione sembra essere relativamente "di basso livello", nel senso che la stragrande maggioranza dei risultati / teoremi / ecc. ruota attorno a valori piccoli, specifici, di dimensioni polinomiali. Questo in qualche modo pone la questione del perché, diciamo, è interessante per il calcolo, ma il concetto analogo sembra essere meno interessante per la comunicazione. (Certo, potrei semplicemente essere in colpa per essere semplicemente inconsapevole dei concetti di complessità della comunicazione "di livello superiore".) $NEXP$

Domande :

Esiste un concetto analogo per le classi di complessità computazionale per la complessità della comunicazione?

E:

In tal caso, come si confronta con la nozione "standard" di classi di complessità? (ad esempio ci sono limiti naturali alle "classi di complessità della comunicazione" che le causano intrinsecamente insufficienti rispetto all'intera gamma di classi di complessità computazionale?) In caso contrario, qual è la ragione "generale" per cui le classi sono un formalismo interessante per la complessità computazionale ma non per complessità comunicativa?

Sembra che tu stia cercando questo documento: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

Classi di complessità nella complessità della comunicazione sono state introdotte da Babai, Frankl, Simon nel documento citato da Noam. Il documento sviluppa anche l'idea di completezza con opportune riduzioni. Se ad esempio descrivi le classi NP e co-NP ha molto senso descrivere anche il problema di disgiunzione (co-NP completo).

Per quanto riguarda le tue seconde domande, se P è (in termini di complessità della comunicazione) la classe di problemi risolvibile in modo deterministico con la comunicazione polylog (n), allora la classe EXP dovrebbe essere l'insieme di problemi risolvibili con la comunicazione poly (n), che è semplicemente tutto. Quindi sembra che tali classi non siano interessanti.

Tuttavia, c'è un altro modo per ottenere classi più grandi. Già PSPACE è definito (da Babai et al.) Non in termini di qualche nozione di spazio, ma in termini di alternanza. Le prove interattive sono un altro modo per ottenere grandi classi di complessità. Quindi puoi definire il MIP di classe come l'insieme di problemi che possono essere risolti in un gioco di comunicazione con due tester (che non possono parlare tra loro) e due verificatori (che possono parlare tra loro e con i tester).

Nel mondo delle macchine Turing, MIP = NEXP, ma che dire della complessità della comunicazione (dove NEXP non sembra avere senso)? Innanzitutto, il MIP non è solo l'insieme di tutti i problemi dovuti a un semplice argomento di conteggio.

Andrew Drucker (nella sua tesi di master) ha mostrato qualcosa di interessante in questa classe. Considera i PCP nella complessità della comunicazione, che (secondo le tecniche standard) sono equivalenti ai protocolli MIP (il suo risultato è un po 'più forte di quello che dichiaro qui).

Ciò che mostra è che per ogni problema in NP (la classe della macchina di Turing) e in qualsiasi modo per suddividere gli input, il problema di comunicazione risultante ha un protocollo MIP con il polilogo di comunicazione (n) (cioè il problema è nella (complessità della comunicazione) classe MIP).

Quindi, mentre il MIP non è tutto, trovare un problema esplicito che non è nel MIP dovrebbe essere difficile (non perché non possiamo trovare problemi che non sono in NP, ma perché non è facile immaginare come possa entrare in gioco la complessità della macchina di Turing ).

Il fatto che mostrare limiti inferiori per MIP sia difficile non dovrebbe essere troppo sorprendente, perché non sappiamo nemmeno come dimostrare limiti inferiori per i protocolli AM.

Una sezione dello Zoo di complessità elenca le più importanti classi di complessità della comunicazione.

La ragione fondamentale per cui esistono tali limiti alla complessità della comunicazione è che c'è sempre e solo una quantità lineare di informazioni totali che devono essere comunicate (input). Sebbene Hartmut Klauck lo abbia già sostanzialmente sottolineato nella sua risposta, volevo evidenziare una risposta all'altro OQ in merito al motivo alla base di questa limitazione fondamentale, vale a dire che i giocatori sono illimitati dal punto di vista computazionale .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$