Caratterizzazione di equivalenze invisibili mediante regole di riscrittura confluenti

In risposta a un'altra domanda, Estensioni della teoria beta del calcolo lambda , Evgenij ha offerto la risposta:

beta + la regola {s = t | s e t sono termini irrisolvibili chiusi}

in cui un termine M è risolvibile se possiamo trovare una sequenza di termini tali che M applicazione s' a loro è pari a I .

La risposta di Evgenij fornisce una teoria equazionale sul calcolo lambda, ma non una caratterizzata da un sistema di riduzione, cioè un insieme confuso e ricorsivo di regole di riscrittura.

Chiamiamo un'equivalenza invisibile su una teoria del calcolo lambda, un sistema di riduzione che identifica un insieme non banale di termini lambda irrisolvibili chiusi, ma non aggiunge nuove equazioni che implicano termini risolvibili.

Ci sono equivalenze invisibili sulla teoria beta del calcolo lambda?

Postscript Un esempio che caratterizza un'equivalenza invisibile, ma non confluente. Sia M = (λx.xx) e N = (λx.xxx) , due termini irrisolvibili. L'aggiunta della regola di riscrittura di NN in MM induce un'equivalenza invisibile contenente MM = NN , ma ha la coppia critica negativa in cui NN si riduce sia a MM che a MMN , ognuno dei quali ha una riscrittura disponibile, che riscrive su se stesso.

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— Charles Stewart
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La nozione di equivalenza invisibile è collegata alla nozione di estensione conservativa . Un'estensione conservativa di una teoria è una raccolta di termini ed equazioni supplementari alla teoria che non aggiungono nuove equazioni tra i termini della teoria originale.

— Dave Clarke,

@supercooldave: i termini irrisolvibili sono normali termini della teoria, come (λx.xx) (λx.xx) , e sono riducibili ad altri termini (irrisolvibili), quindi fanno parte della normale teoria del lambda-calcolo. Il punto è che sono ortogonali alla semantica del calcolo lambda che otteniamo dal teorema di Böhm.

— Charles Stewart,

λ β

$\lambda \beta$

@Evgenij: Sì. È fondamentale che le nuove regole siano confluenti e, naturalmente, banale trovare esempi se non lo sono. Aggiungerò un esempio per mostrare il problema.

— Charles Stewart,

Sì. Con M = (λx.xx) per la domanda, considera la riscrittura ζ che prende MM p in MM .

È confluente e quindi caratterizza un sistema di riduzione sul calcolo lambda. Schizzo dell'argomento per la confluenza: poiché MM è chiuso, dobbiamo solo considerare le coppie critiche del modulo MMN ₁ ... N _k . Questi possono essere risolti.

È un'equivalenza invisibile, perché i termini della forma MMI ... I (con zero o più I ) sono termini irrisolvibili chiusi che si riducono solo a se stessi nel calcolo lambda di base, quindi sono distinti e quindi l'insieme infinito di questi i termini non sono banali ed è ovviamente equiparato a ζ.

Non mi piace accettare la mia risposta alla mia domanda, quindi accetterò una risposta da qualcuno che fornisce un argomento di confluenza meno assurdamente incompleto.

— Charles Stewart
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