Esistono procedure semi-decisionali per questa teoria?

Ho la seguente teoria tipizzata

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

con equazioni per tutti i termini:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Sto cercando una procedura semi-decisionale che sarà in grado di provare equazioni in questa teoria, dato un insieme di equazioni ipotetiche. Inoltre, non è chiaro se esista o meno una procedura decisionale completa: non sembra esserci alcun modo per codificare la parola problema per gruppi in essa. Neel Krishnaswami ha mostrato come codificare la parola problema in questo, quindi il problema generale è indecidibile. La teoria secondaria di associatività e identità può essere facilmente decisa usando un modello monoidale della teoria, mentre l'intero problema è più difficile della chiusura della congruenza. Eventuali riferimenti o suggerimenti sarebbero i benvenuti!

Ecco un esempio esplicito di qualcosa che speriamo di poter provare automaticamente:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

$X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

Tuttavia, la parola problema è risolvibile per molti gruppi specifici, quindi se si dispone di maggiori dettagli sul problema ciò può essere d'aiuto. In particolare, un'idea della teoria dei gruppi che potrebbe essere di grande aiuto è che le presentazioni assolute di gruppi generati finitamente sono risolvibili - le disequazioni possono potare lo spazio di ricerca abbastanza da rendere la teoria decidibile.

EDIT: Un'altra idea che ho avuto è che l'aggiunta di irrelazioni potrebbe essere ancora uno strumento utile per te, anche se i modelli concreti che ti interessano convalidano le equazioni. Questo perché in situazioni categoriche spesso vuoi solo equazioni "belle", per un certo valore di bello, e puoi usare le disequazioni per escludere soluzioni che sono troppo malvagie per te. La tua procedura decisionale potrebbe essere ancora incompleta, ma potresti ottenere una caratterizzazione più naturale delle soluzioni che può trovare rispetto a "cerchiamo possibili alberi di prova fino a una profondità di 7".

In bocca al lupo; quella cosa che stai facendo sembra piuttosto bella!

Un riferimento: Automatizzare le prove nella teoria delle categorie di Dexter Kozen, Christoph Kreitz ed Eva Richter.