Sostituzione ereditaria con una gerarchia dell'universo

Ho letto della sostituzione ereditaria del Simple Lambda Calculus e del Logical Framework con termini e tipi distinti.

Mi chiedo, ci sono esempi di sostituzione ereditaria in un sistema tipicamente dipendente con una gerarchia dell'universo? ovvero dove ecc. $True : Set_0 : Set_1:Set_2$

Mi chiedo in particolare come stabilire una misura di induzione in un tale sistema. La versione tipizzata in modo semplice sta diminuendo strutturalmente il tipo di variabile da sostituire. Questo non funziona con tipi dipendenti, per LF la carta che ho collegato utilizza la cancellazione dei termini semplicemente digitata, eseguendo l'induzione sulla forma del tipo.

Tuttavia, la cancellazione di tipi semplici non funziona con una gerarchia dell'universo, poiché se hai qualcosa del genere:

$f : (x : Set_1)\to x \to True$ implica che
$f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

vale a dire l'applicazione di una funzione ha prodotto un tipo strutturalmente più grande.

Suppongo che la soluzione abbia qualcosa a che fare con gli indici dell'universo, ma se esiste una tecnica esistente per stabilire che l'induzione è fondata, preferirei citarla piuttosto che inventare qualcosa per conto mio.

— jmite
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Risposte:

Ecco un riferimento per il sistema predicativo F. La misura include effettivamente il multiset di livelli di universo in un tipo. Non posso dire molto sul fatto che questo approccio generalizzi alla teoria del tipo dipendente predicativo.

— András Kovács
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A partire da novembre 2018, come farlo per teorie di tipo dipendente con grandi eliminazioni è una domanda aperta.

Stabilire che la ricorsione è fondata non è male; puoi usare il teorema di Pataraia per dimostrare che esiste il punto fisso che desideri. Vedi un esempio di come costruire sistemi di tipo * di Robert Harper su una semantica operativa . (Puoi anche farlo tramite una definizione induttiva-ricorsiva.)

La parte difficile è in realtà formulare la sostituzione ereditaria in un modo carino - la direzione naturale ti porta a sostituire non un termine, ma un'intera sostituzione per un contesto, e questo solleva molte domande su quando e come stabilire proprietà delle cose come composizioni di sostituzioni (ereditarie).

Se risultasse impossibile, sarei assolutamente scioccato. Tuttavia, al momento nessuno lo ha fatto. Se vuoi lavorare su questo, suggerirei di entrare in contatto con Andreas Abel, Dan Licata e Mike Shulman. (O io, del resto.)

— Neel Krishnaswami
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La forza di coerenza di un teorema delle sostituzioni ereditarie non è forse abbastanza forte per una teoria dei tipi con una gerarchia dell'universo? Dopo aver superato il teorema, cos'altro è necessario per ricavare coerenza dalla teoria?

— Andrej Bauer,

@NeelKrishaswami: vuoi dire che è un problema aperto anche senza una gerarchia dell'universo? Quanto esatti esattamente sulla tua teoria dei tipi, precisamente?

— Andrej Bauer,

Secondo secondo la confusione di AndrejBauer: la definizione di sostituzione ereditaria non contiene implicitamente un argomento di risoluzione per la riduzione di termini ben scritti? L'argomento per tipi semplici sembra contenere anche esplicitamente un ordine che diminuisce quando viene effettuata la sostituzione, che è pignolo anche per il Sistema T (è aperto se esiste un tale ordine per SN) e senza speranza per il sistema F.

— cody

@AndrejBauer: se si annota un'operazione di sostituzione ereditaria, è necessario dimostrare che termina prima di poterla veramente chiamare una funzione. È improbabile che la prova della risoluzione sia terribilmente difficile, poiché si può dimostrare che MLTT con una gerarchia di universi numerabili si normalizzi usando ZF limitato intuitivo. Ciò che è aperto è in realtà dare la corretta definizione dell'operazione di sostituzione ereditaria. Al momento non è chiaro se si tratti di un problema burocratico difficile o di un problema difficile. Il mio sospetto è il primo, ma chi può davvero dire senza fare il lavoro?

— Neel Krishnaswami,

@ Blaisorblade: sì, l'aggiunta di grandi eliminazioni porta a un grande salto nel potere espressivo della teoria. Una volta che si hanno grandi eliminazioni, la metatoria in cui si dimostra la coerenza / normalizzazione deve supportare al minimo l'induzione-ricorsione.

— Neel Krishnaswami,