Applicazioni della geometria algebrica nella teoria dei tipi / teoria dei linguaggi di programmazione

Ultimamente mi sono interessato alla geometria algebrica e ho iniziato a leggere su di essa. So ancora molto poco su questo campo, ma voglio sapere se ha qualche connessione con il mio campo principale, la teoria dei tipi e i linguaggi di programmazione.

So che la topologia algebrica ha molte applicazioni nella teoria dei tipi (teoria dei tipi di omotopia e molte altre), ma che dire della geometria algebrica, oltre che sia la teoria dei tipi / teoria del PL che la AG sono buoni motivatori della teoria delle categorie?

Per quanto ne sappia (che è sicuramente incompleto), c'è stato relativamente poco lavoro su questo, presumibilmente perché richiede l'assimilazione di due corpi di conoscenza relativamente intricati. Tuttavia, poco non significa inesistente. Thierry Coquand e i suoi collaboratori hanno scritto parecchi articoli sulle connessioni tra l'algebra commutativa e la logica costruttiva.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Un approccio logico all'algebra astratta .

  Questo documento mi ha impressionato moltissimo come studente universitario: il modo sicuro e libero di usare idee della teoria della prova e della teoria dei modelli per fare matematica non banale e propria è una cosa che ammiravo molto e alla quale aspiro ancora.

• Henri Lombardi e Claude Quitté hanno un libro di testo (liberamente disponibile), Algebra commutativa: metodi costruttivi .

  Come suggerisce il titolo, questa è algebra commutativa piuttosto che geometria algebrica, ma poiché l'algebra commutativa fornisce gran parte dell'infrastruttura per la geometria algebrica, questo sarà comunque interessante.

Ci sono anche una serie di tesi di dottorato molto interessanti nella zona:

• La tesi di dottorato di Andres Mörtberg che formalizza i perfezionamenti e l'algebra costruttiva nella teoria dei tipi

  Una volta che hai una prova costruttiva, hai un algoritmo. Questa tesi mira a rendere efficienti quegli algoritmi.

• Tesi di dottorato di Bassel Mannaa, semantica di covone in algebra costruttiva e teoria dei tipi

  In questa tesi, egli dimostra in modo costruttivo la correttezza del teorema di Newton-Puiseux, nonché l'indipendenza del principio di Markov. Offre un bell'esempio di come i metodi semantico-covone hanno applicazioni sia in geometria che in logica.

• Tesi di dottorato di Ingo Blechschmidt, Usando il linguaggio interno delle topose nella geometria algebrica,

  Questa tesi mira a rifare molte delle solite prove della geometria algebrica nel linguaggio interno del topos Zariski associato a uno schema, producendo una sorta di "geometria algebrica sintetica". (Fa anche "teoria dello schema sintetico" usando il grande topos Zariski). Come ci si aspetterebbe, poiché i topoi non sono generalmente booleani, le prove devono essere fatte in uno stile intuitivo.

Vale anche la pena sottolineare il seguente riferimento:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Covoni in Geometria e Logica Covoni in Geometria e Logica: una prima introduzione alla teoria topos .

  Gran parte della tecnologia utilizzata in questo lavoro deriva dalle connessioni tra teoria topos, logica e geometria. Questo è il riferimento standard, anche se invece l'ho imparato per lo più dai giornali di Steve Vickers.

Questo potrebbe non essere esattamente quello che stai cercando, ma un'applicazione della geometria algebrica nei linguaggi di programmazione è l'analisi dei loop lineari:

Un loop lineare è un programma molto semplice del modulo:

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

Puoi dare un'occhiata al documento Sul problema della complessità dell'orbita come un buon punto di partenza.