La struttura dati quad-edge (Delaunay / Voronoi)

2 domande per i geometri computazionali o algebristi:

Sto appena iniziando ad immergermi nella geometria computazionale e lo adoro =)

Sto tentando di leggere il famoso articolo di Guibas e Stolfi intitolato "Primitivi per la manipolazione di suddivisioni generali e il calcolo dei diagrammi di Voronoi" al fine di implementare un algoritmo di triangolazione Delaunay. Sono tentato di saltare tutte le cose teoriche e di leggere la descrizione della loro struttura di dati quad-edge per risparmiare tempo. Tuttavia, penso che valga la pena capire tutta la matematica nell'articolo se la struttura è ampiamente utilizzata o semplicemente perché può essere bella.

La matematica è un po 'densa per me. Non sono del tutto ignaro della topologia, ma la descrizione della loro algebra marginale richiede la conoscenza dell'algebra astratta che non ho.

Le mie due domande sono: quali altre applicazioni della struttura quad-edge ci sono oltre al calcolo Delaunay / Voronoi? Sembra uno strumento estremamente potente.

La seconda domanda; Che cos'è un'algebra astratta? Sarebbe bello se potessi darmi un riferimento a un'introduzione all'algebra astratta, quel tanto che basta per capire la sezione sulla loro algebra marginale.

Grazie!

Penso che il formalismo "edge algebra" di Guibas e Stolfi sia un po 'inutile.

Tutto ciò che è veramente necessario è ricordare la distinzione tra grafici primari e doppi. Ogni faccia del grafico primario ha un corrispondente doppio vertice f ∗ ; ciascun bordo e del grafico primario ha un bordo doppio corrispondente e ∗ ; e ogni vertice v del grafico primario ha una corrispondente doppia faccia v ∗ . I bordi primari collegano vertici primari e facce primarie separate; i bordi doppi collegano i vertici doppi e le facce doppie separate. Il duale del duale di qualsiasi cosa è la cosa originale. Vedi la Figura 4 nel documento di Guibas e Stolfi:$f$$f^*$$e$$e^*$$v$$v^*$

$\vec{e}$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{head}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$

$\vec{e}$

1. $\text{tailNext}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\vec{e}$
2. $\text{flip}(\vec{e})$$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$
3. $\text{rotate}(\vec{e})$$\vec{e}$

Queste tre funzioni soddisfano ogni sorta di meravigliose identità, come le seguenti:

• $\text{right}(\text{tailNext}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{flip}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{rotate}(\vec{e})) = \text{head}(\vec{e})^*$
• $\text{flip}(\text{flip}(\vec{e})) = \vec{e}$
• $\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$
• $\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$

$e~Flip$e.Flip

Inoltre, date queste tre funzioni, si possono definire diverse altre funzioni utili come

• $\text{reverse}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{flip}(\text{rotate}(\vec{e})))$
• $\text{leftNext}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))))$$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$

Infine, conoscendo queste funzioni puoi dire assolutamente tutto sulla topologia della suddivisione e qualsiasi suddivisione poligonale di qualsiasi superficie (orientabile o meno) può essere codificata usando queste tre funzioni.

La struttura dati quad-edge è una rappresentazione particolarmente conveniente di un grafico di superficie che fornisce l'accesso a tutte queste funzioni, insieme a molte altre operazioni a tempo costante come l'inserimento, l'eliminazione, la contrazione, l'espansione e il ribaltamento dei bordi; dividere o unire vertici o facce; e aggiunta o eliminazione di handle o maiuscole.

Divertiti!