Assiomi necessari per l'informatica teorica

Questa domanda è ispirata da una domanda simile sulla matematica applicata sul flusso matematico, e che fastidioso pensava che domande importanti su TCS come P vs. NP potrebbero essere indipendenti da ZFC (o altri sistemi). Come sfondo, la matematica inversa è il progetto di ricerca degli assiomi necessari per dimostrare alcuni teoremi importanti. In altre parole, iniziamo da una serie di teoremi che ci aspettiamo siano veri e proviamo a ricavare la serie minima di assiomi "naturali" che li rendono tali.

Mi chiedevo se l'approccio della matematica inversa è stato applicato a teoremi importanti di TCS. In particolare alla teoria della complessità. Con deadlock su molte domande aperte in TCS sembra naturale chiedersi "quali assiomi non abbiamo provato a usare?". In alternativa, è stato dimostrato che alcune importanti domande in TCS sono indipendenti da alcuni semplici sottosistemi di aritmetica di secondo ordine?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Artem Kaznatcheev
fonte

Due possibili assiomi che potrebbero non essere indipendenti: 1) 3-SAT richiede tempo. 2) Data la formula 3SAT soddisfacente, ogni algoritmo efficiente soddisfa al massimo una frazione di delle clausole. Inoltre, la moltiplicazione di due numeri primi uguali è difficile da invertire (in modo efficiente).

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Mohammad Al-Turkistany

Questo documento è pertinente: Harry Buhrman, Lance Fortnow, Leen Torenvliet, "Sei ipotesi alla ricerca di un teorema", CCC, pp.2, 12a Conferenza annuale IEEE sulla complessità computazionale (CCC'97), 1997

— Mohammad Al-Turkistany

È correlata la seguente domanda: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… La maggior parte dei TCS può essere formalizzata in RCA_0. Il teorema minore grafico è un'eccezione rara. Come sottolinea Neel, se vuoi nuove idee, cerca nuove idee; non cercare nuovi assiomi. I due non sono affatto uguali.

— Timothy Chow,

Sono confuso perché risultati come dichiarazioni su

sono iscritti. Nella mia prima lezione TCS, abbiamo iniziato con numeri naturali e alcune funzioni di base su di essi. Il resto segue. Apparentemente non capisco la domanda.

P

$P$

N P

$NP$

— Raffaello,

Ho appena notato questo, ma apparentemente Lipton ha posto una domanda simile in questo post: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/… , per citare: "Mi chiedo se ci sono tecniche di prova che coinvolgono idee ben oltre PA che abbiamo non utilizzato e che contribuirebbe a risolvere alcuni importanti problemi. Dovremmo insegnare ai nostri studenti laureati metodi da aree della matematica che vanno oltre la PA? " (PA = Peano Arithmetic)

— Artem Kaznatcheev

Risposte:

Sì, l'argomento è stato studiato nella complessità della prova. Si chiama Bounded Reverse Mathematics . Puoi trovare una tabella contenente alcuni risultati di matematica inversa a pagina 8 del libro di Cook e Nguyen, " Fondamenti logici di complessità di prova ", 2010. Alcuni dei precedenti studenti di Steve Cook hanno lavorato su argomenti simili, ad esempio la tesi di Nguyen, " Bounded Reverse Mathematics " , Università di Toronto, 2008.

Alexander Razborov (anche altri teorici della complessità della prova) ha alcuni risultati sulle teorie deboli necessarie per formalizzare le tecniche di complessità del circuito e dimostrare che la complessità del circuito è inferiore. Ottiene alcuni risultati non dimostrabili per le teorie deboli, ma le teorie sono considerate troppo deboli.

Tutti questi risultati sono dimostrabili in (teoria di base di Simpson per la matematica inversa), quindi AFAIK non abbiamo risultati di indipendenza da forti teorie (e in effetti tali risultati di indipendenza avrebbero forti conseguenze come Neel ha menzionato, vedi Ben -Il lavoro di David (e i relativi risultati) sull'indipendenza di da dove è un'estensione di $RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ ). $PA$

— Kaveh
fonte

Tali risultati di indipendenza sarebbero importanti scoperte, ma non credo che abbiano conseguenze forti e immediate; vedi il mio commento sulla risposta di Neel.

— Timothy Chow,

@Tim, grazie, hai ragione, ho corretto la mia risposta. Non è

, è

esteso con tutte le vere frasi universali di aritmetica, e Ben-David afferma che se la domanda è indipendente da questa teoria più forte, allora SAT ha un algoritmo temporale quasi polinomiale. Quindi l'ipotesi è (molto) più forte, ma l'affermazione finale è la stessa. (e i metodi attualmente noti per dimostrare l'indipendenza da

implicherebbero anche l'indipendenza da

)

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

— Kaveh,

Come risposta positiva alla tua domanda finale, le prove di normalizzazione dei calcoli lambda polimorfici come il calcolo delle costruzioni richiedono almeno un'aritmetica di ordine superiore, e i sistemi più forti (come il calcolo delle costruzioni induttive) sono coerenti con ZFC oltre a numerosi inaccessibili numerabili.

Come risposta negativa alla tua domanda finale, Ben-David e Halevi hanno dimostrato che se è indipendente da , l'aritmetica di Peano si estende con gli assiomi per tutte le verità aritmetiche universali, quindi esiste un algoritmo quasi polinomiale per SAT. Inoltre, attualmente non ci sono modi noti per generare frasi indipendenti da ma non da . $P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

Più filosoficamente, non commettere l'errore di equiparare la forza di coerenza con la forza di un'astrazione.

Il modo corretto di organizzare una materia può comportare principi di teoria teorica apparentemente selvaggia, anche se potrebbero non essere strettamente necessari in termini di forza di coerenza. Ad esempio, i forti principi di raccolta sono molto utili per affermare le proprietà di uniformità - ad esempio, i teorici di categoria finiscono per desiderare assiomi cardinali grandi e deboli per manipolare cose come la categoria di tutti i gruppi come se fossero oggetti. L'esempio più famoso è la geometria algebrica, il cui sviluppo fa ampio uso degli universi di Grothendieck, ma tutte le cui applicazioni (come l'ultimo teorema di Fermat) apparentemente si trovano all'interno dell'aritmetica di terzo ordine. Come esempio molto più banale, notare che le operazioni generiche di identità e composizione non sono funzioni, poiché sono indicizzate sull'intero universo di insiemi.

$\sigma$ $X$ $X$

EDIT: il sistema logico A ha una maggiore consistenza rispetto al sistema B, se la coerenza di A implica la consistenza di B. Ad esempio, ZFC ha una maggiore consistenza rispetto all'aritmetica di Peano, poiché è possibile dimostrare la coerenza di PA in ZFC. A e B hanno la stessa forza di coerenza se sono incoerenti. Ad esempio, l'aritmetica di Peano è coerente se e solo se l'aritmetica di Heyting (costruttiva) lo è.

IMO, uno dei fatti più sorprendenti sulla logica è che la forza di coerenza si riduce alla domanda "Qual è la funzione a più rapida crescita che puoi dimostrare totale in questa logica?" Di conseguenza, la coerenza di molte classi di logiche può essere ordinata linearmente! Se hai una notazione ordinale in grado di descrivere le funzioni in più rapida crescita che le tue due logiche possono mostrare in totale, allora per tricotomia sai che l'una o l'altra può dimostrare la coerenza dell'altra, oppure sono equi.

Ma questo fatto sorprendente è anche il motivo per cui la forza di coerenza non è lo strumento giusto per parlare di astrazioni matematiche. È un invariante di un sistema che include trucchi di codifica e una buona astrazione ti consente di esprimere un'idea senza trucchi. Tuttavia, non sappiamo abbastanza della logica per esprimere formalmente questa idea.

— Neel Krishnaswami
fonte

che cos'è la "forza di coerenza"?

— Suresh Venkat,

Non è quello che hanno dimostrato Ben-David e Halevi. Hai trascurato il loro cavaliere cruciale, "usando le tecniche attualmente disponibili". Interpreto il loro articolo sottolineando quanto siano deboli le nostre attuali tecniche di prova piuttosto che dire molto sulla domanda P = NP.

— Timothy Chow,