Somma di calcolo dei polinomi sparsi al quadrato in O (n log n) tempo?

Supponiamo di avere polinomi di grado al massimo , , in modo tale che il numero totale di coefficienti diversi da zero sia (cioè i polinomi sono scarsi). Sono interessato a un algoritmo efficiente per il calcolo del polinomio: n n > m $p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

Poiché questo polinomio ha un grado massimo di , sia la dimensione di input che di output è . Nel caso possiamo calcolare il risultato usando FFT nel tempo . Questo può essere fatto per qualsiasi ? Se fa qualche differenza, sono interessato al caso speciale in cui i coefficienti sono 0 e 1 e il calcolo dovrebbe essere effettuato su numeri interi.O ( n ) m = 1 O ( n log n ) m < $2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Aggiornare. Mi sono reso conto che una soluzione rapida per quanto sopra avrebbe comportato progressi nella rapida moltiplicazione della matrice. In particolare, se allora possiamo leggere come coefficiente di in . Pertanto, calcolare corrisponde al calcolo di un prodotto esterno di due vettori e il calcolo della somma corrisponde al calcolo di un prodotto matrice. Se esiste una soluzione che utilizza il tempo per calcolare allora possiamo moltiplicare due -by- matrici nel tempo a i k b k j x i + n j p k ( x n , m ) $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$p k ( x ) 2 ∑ k p k ( x ) 2 f $p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$$f(n,m)$ n n f ( n 2 , n $\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$, il che significa che per richiederebbe un importante passo avanti. Ma , dove è l'attuale esponente della moltiplicazione di matrici, potrebbe essere possibile. Idee, qualcuno?m ≤ n f ( n , m ) = n ω / 2$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

La quadratura di un polinomio con coefficienti diversi da zero richiede tempo usando la moltiplicazione ordinaria termine per termine, quindi questo dovrebbe essere preferito alla FFT per quei polinomi in cui . Se , il numero di polinomi con maggiore di è , e questi richiederà il tempo per quadrare e combinare (così come i polinomi rimanenti). Questo è un miglioramento rispetto all'ovvio associato quando è . O ( x 2 i ) x i < $x_i$$O(x_i^2)$ ∑ixi=nxi$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ O($\sqrt{n \log n}$O(n 3 / 2 (logn) 1 / 2 )O(mnlogn)mΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Non una risposta completa ma forse utile.

Avvertenza: funziona bene solo se i supporti di sono piccoli.$p_i^2$

Per un polinomio , si che sia il suo supporto eessere la dimensione del supporto. Gran parte del sarà scarso, cioè avrà un piccolo supporto.S q = { i ∣ a i ≠ 0 } s q = | S q | p $q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Esistono algoritmi per moltiplicare sparse polinomi e in tempo quasi-lineare nella dimensione del supporto del prodotto , vedi ad esempio http://arxiv.org/abs/0901.4323b a $a$$b$$a b$

Il supporto di è (contenuto in) , dove la somma di due insiemi e è definita come . Se i supporti di tutti i prodotti sono piccoli, diciamo, lineari in in totale, allora si può semplicemente calcolare i prodotti e sommare tutti i monomi.S a + S b S T S + T : = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } $ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

E 'comunque molto facile da trovare polinomi e tali che la dimensione del supporto di è quadratica nelle dimensioni del supporto di e . In questa particolare applicazione, stiamo quadrando i polinomi. Quindi la domanda è come molto più grande rispetto a . La misura abituale per questo è il numero di raddoppio. Esistono set con numero di raddoppio illimitato. Ma se puoi escludere insiemi con un numero doppio raddoppiato come supporti di , allora puoi ottenere un algoritmo veloce per il tuo problema. b a b a b S + S S | S + S | / | S | p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$

Volevo solo notare l'algoritmo di approssimazione naturale. Questo però non sfrutta la scarsità.

Puoi usare una sequenza casuale Prendendo possiamo calcolare in time usando FFT. Quindi e . Quindi puoi ottenere un'approssimazione nel tempo .$(\sigma_i)_{i\in[n]}$$X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$$X^2$$n\log n$$EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$$\sqrt{VX^2} = O(S)$$1+\varepsilon$$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$