Prove ottenute solo attraverso la teoria dei grafi spettrali

28

Ho un crescente interesse per la teoria dei grafi spettrali, che trovo affascinante, e ho iniziato a raccogliere alcuni documenti che devo ancora leggere più a fondo di quello che ho finora.

Tuttavia, sono curioso di sapere un'affermazione che è emersa in diverse fonti (ad esempio laggiù ), che afferma in sostanza che alcuni risultati nella teoria dei grafi sono stati dimostrati utilizzando solo tecniche basate sullo spettro e che finora non sono state dimostrate che aggira quelle tecniche è noto.

A meno che non lo abbia ignorato, non ricordo di aver visto un simile esempio nella letteratura che ho letto finora. Qualcuno di voi conosce esempi di tali risultati?

— Anthony Labarre
fonte

Il titolo della domanda suggerisce che stai chiedendo prove ottenibili solo usando la teoria dei grafi spettrali, ma stai chiedendo prove che finora sono state ottenute solo dalla teoria dei grafi spettrali. Queste sono due domande totalmente diverse. Così com'è, il titolo è fuorviante, motivo per cui l'ho cambiato.

— Dave Clarke,

@Dave Ho fatto un rollback

— Suresh Venkat,

5

Il capitolo 7 di Spectra of Graphs di Cvetković, Doob e Sachs fornisce numerosi esempi di teoremi le cui affermazioni non menzionano esplicitamente gli spettri ma che sono dimostrabili usando tecniche spettrali. La mia ipotesi è che molti di questi non hanno prove non spettrali conosciute, anche se dovresti verificarlo caso per caso. Certamente in molti casi la prova più semplice o più naturale usa spettri.

— Timothy Chow,

@ Timothy Chow: grazie, proverò a metterci le mani sopra.

— Anthony Labarre,

@TimothyChow: dovresti farne una risposta, credo.

— Suresh Venkat,

12

Il teorema di Hoffman – Singleton .

— Colin McQuillan
fonte

Anche Hoffman-Singleton è stato il mio primo pensiero. Ma non so se esistono prove non spettrali e se non lo fanno se è perché sono troppo difficili o perché nessuno ha provato. La dimostrazione standard è piuttosto chiara e concisa, quindi non so con certezza quale sarebbe la motivazione per ottenere una dimostrazione non spettrale.

— mum

9

Che ne dici di questo risultato sull'informatica quantistica.

Mario Szegedy. Accelerazione quantistica degli algoritmi basati sulla catena di Markov. In FOCS'04.

Estende le catene di Markov alle catene di Markov quantistiche e mostra che il tempo di percio quantico è delimitato dalla radice quadrata del tempo di percussione classico. Lo fa mettendo in relazione i singoli vettori della catena classica di Markov con i singoli vettori della catena quantistica di Markov. Prima di questo articolo, non esisteva alcuna relazione nota tra passeggiate casuali e quantistiche. Non riesco a immaginare come fare lo stesso usando tecniche non spettrali.

— Marcos Villagra
fonte

8

Penso che il teorema dell'amicizia (vedi anche l' articolo di Huneke ) sia un buon esempio anche se a rigor di termini ora esistono prove del teorema dell'amicizia che evitano gli autovalori. Le prove che evitano del tutto gli autovalori sono molto più confuse della prova spettrale.

(Il teorema dell'amicizia afferma che se in una stanza di persone, ogni coppia di persone ha esattamente un amico comune, allora c'è qualcuno che conosce tutti gli altri.)

— Timothy Chow
fonte

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

X^{T} L_{H} X (1 - ε) \leq X^{T} L_{sol} X \leq X^{T} L_{H} X (1 + ε) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Anche se l'affermazione del teorema non è discutibilmente "intrinsecamente spettrale", non credo sia noto come si possa ottenere questo risultato o un risultato simile senza usare tecniche spettrali.

— Lev Reyzin
fonte

È un po 'discutibile se la frase non sia intrinsecamente spettrale. In senso letterale, hai ragione, ma l'unica logica che posso pensare per cui si manifesta la forma quadratica è spettrale.

— Suresh Venkat,

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Certo, ma si può immaginare di ottenere questi sparsificatori in un altro modo. Ma sì, questo potrebbe non essere il miglior esempio ...

— Lev Reyzin